Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

G(z) = (z − b) 1/2 (z − c) 1/2
P(z) est un polynôme de degré fini.
Les conditions aux limites donnent :
ce qui permet de déterminer P(z) :
3.2. Expression analytique du facteur d’intensité de contrainte
4ℜ p ′ (z) − s ′ (z)
|z|→∞ = σ∞y + σ∞x (3.32)
4ℜ[s ′ (x)]|z|→∞ = σ ∞ y − σ∞x (3.33)
P(z) = σ∞y 2 z + a0, s ′ (z) = σ∞y − σ∞x 4
d’où a0 est déterminé à partir de la condition de fermeture de fissure aux deux extrémités.
On peut donc récrire l’équation (3.28) sous forme d’intégration suivante :
Soit encore :
2µ[v+(c) − v+(b)] =
=
=
(3.34)
2
1 − k2 ℑp+(x) − 2k2
c
ℑs(x)
1 − k2 b
2 P(x)
ℑ −
1 − k2 G(x)
2k2
∞ σy − σ
ℑ
1 − k2 ∞ c
x
4 b
2
1 − k2 c σ∞ y x/2 + a0
d x = 0 (3.35)
(x − b)(c − x)
b
b + c
a0 = −
4 σ∞y (3.36)
La contrainte normale et le gradient de déplacement dans le plan symétrique sont ensuite déterminés
:
σy = 2ℜp ′
1 1 c σ
(x) = ±
(x − b)(x − c) π b
0 y (ξ) (ξ − b)(c − ξ)
dξ + σ
ξ − x
∞
y [x − (b + c)/2] (3.37)
∂v+
∂x
1
= −
2(1 − k2 )µ (x − b)(c − x)
1
π
c σ0 y
b
(ξ − b)(c − ξ)
ξ − x
avec le signe supérieur pour x > c et le signe inférieur pour x < b.
dξ + σ ∞ y
Le facteur d’intensité de contrainte à x = b est :
K (b)
I =
=
lim 2π(b − x)σy (x)
x→b−0
2π 1 c
−
σ
c − b π b
0 y (ξ)
c − ξ
ξ − b dξ + σ∞
b − c
y
2
En posant a = (c − b)/2 la demi-longueur de la fissure, on obtient :
K (b)
= σ I ∞ 1
y πa − πa
c
σ
b
0 y (ξ)
[x − (b + c)/2]
(3.38)
(3.39)
c − ξ
dξ (3.40)
ξ − b
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