Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

3.3. Fissure dans un milieu isotrope viscoélastique
que les transformations de Laplace du coefficient de Poisson ν et le rapport k = cS/cP sont constants.
On applique ce principe de correspondance pour le cas d’une plaque viscoélastique large en présence
d’une fissure fixe tendue de longueur 2a dont les lèvres sont soumises en mode I de chargement
imposé : σy = σ ∞ y , σx = σ ∞ x .
Les contraintes et les déplacements dans le cas élastique sont donnés par les équations (3.46)-
(3.50) dont les composants verticaux sont les suivantes :
σy = σ ∞ y ℜ
z
(z2 − a2 ı y a
+
) 1/2 2
(z2 − a2 ) 3/2
v = σ∞y 2µ ℑ
1
1 − k2 (z2 − a 2 ) 1/2 ı y z
−
(z2 − a2 ) 1/2
+ σ∞y − σ∞x y
4µ
On remarque que la formulation en contrainte ne contient aucun paramètre du matériau. Selon
le principe de correspondance, les contraintes viscoélastiques sont les mêmes que les contraintes
élastiques.
Le déplacement élastique dépend des paramètres du matériau µ et k :
⎧
⎪⎨ k
⎪⎩
2 1 − 2ν
=
2(1 − ν)
en déformation plane (3.59)
k 2 1 − ν
=
2
en contrainte plane
La transformation de Laplace du déplacement v :
avec : m = σ∞ x
σ ∞ y .
V = σ∞
y 1
ℑ
2M(p) 1 − k2 (z2 − a 2 ) 1/2 −
ı y z
(z 2 − a 2 ) 1/2
+ 1 − m
4
y
(3.60)
On exprime µ(t) en fonction de deux termes e−t/t0 −t/t0 et (1 − e ) :
µ(t) = µ∞ + −t/t0
µ0 − µ∞ e H(t) = µ0e −t/t0
−t/t0 + µ∞ 1 − e H(t) (3.61)
On calcule la transformation de Laplace M(p) de la fonction µ(t) en utilisant les deux fonctions
e −t/t0 et (1 − e −t/t0 ) :
M(p) = µ0
→ 1
M(p)
= 1
µ0
= 1
µ0
p
p + 1
t0
p + 1
t0
+ µ∞
p + µ∞ 1
. µ0 t0
p
p + µ∞
µ0
1
t0
p + 1
t0
+
1
t0
1
µ∞
µ∞
µ0
1
t0
p + µ∞
µ0
1
t0
(3.62)
(3.63)
Posons C(t), la fonction complaisance d’inversion de 1/M(p) :
C(t) = L −1
1 1
µ∞t
− µ
pt = e 0 t0 +
M(p) µ0
1
µ∞t
− µ 1 − e 0 t0 µ∞
C(t) =
H(t)
1 1
− −
µ∞ µ∞
1
e
µ0
−µ∞t/(µ0t0)
H(t) (3.64)
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