Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

3.2. Expression analytique du facteur d’intensité de contrainte
On en déduit alors :
σx + σy =
2µ ∂u ∂v
+ =
1 − 2ν ∂x ∂y
4µ
1 − 2ν ℜ
σx − σy
τx y
=
=
∂
(u + ıv)
∂z
∂u ∂v ∂
2µ − = 4µℜ (u − ıv)
∂x ∂y ∂z
∂u ∂v
∂
µ + = −2µℑ (u − ıv)
∂y ∂x
∂z
Par conséquent, les contraintes peuvent êtres décrites par une fonction potentielle complexe :
σx + σy = 4ℜ f ′ (z)
∂
σy − σx + 2ıτx y = −4µℜ
∂
= −2
∂z
(u − ıv)
∂z
2µ(u − ıv)
∂
− 4ıµℑ (u − ıv)
∂z
σy − σx + 2ıτx y = 2 z f "(z) + g "(z)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
La solution en contrainte plane est déduite de celle en déformation plane en remplaçant la constante
élastique ν par ν/(1 + ν) ou en prenant :
⎧
⎨
=
ν
⎩
1 − 2k2
2(1 − k2 )
ν = 1 − 2k 2
en déformation plane
en contrainte plane
Avec l’hypothèse en déformation plane, nous calculons à nouveau la représentation (3.5) :
2µ(u + ıv) =
=
1 + k2
1 − k2 f (z) − z f ′ (z) − g ′ (z) (3.12)
2
f (z) − f (z) − z f
1 − k2 ′ (z) + g ′
(z)
(3.13)
L’utilisation des constantes µ et k dans cette équation a pour but d’avoir une expression valable à
la fois en déformation plane et en contrainte plane.
En effet, le déplacement d’un corps rigide peur être représenté par :
f (z) = A + Bz, g (z) = Cz
d’où A et C sont les constants complexes, qui déterminent la translation et B est une constante imaginaire,
qui détermine la rotation.
Si les composantes de la force sollicitant sur l’élément frontière d s, où s est la longueur curviligne
frontière, sont Xd s et Yd s dans les directions x et y :
Xd s = σxd y − τx y d x, Yd s = τx y d y − σyd x
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