Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

A.2 Fonctions holomorphes ou fonctions analytiques
A.2. Fonctions holomorphes ou fonctions analytiques
À tout point M(x,y) du plan, on associe le complexe z = x +ı y dont le conjugué est z = x −ı y. Avec
ces deux dernières relations, on obtient :
z + z
x =
2
z − z
et y =
2ı
Toute fonction g (x, y) peut-être considérée comme fonction de z et z, que l’on notera par abus de
notation g (z, z).
Avec ce changement de variable, on a :
(x, y) ∈ Plan −→ g (x, y)
(x, y) −→ (z, z) −→ g (z, z)
g,z = 1
2
g,x − ıg,y
g,x + ıg,y
g ,z = 1
2
g,x
= g,z + g z,z
g,y = ı(g,z − g ,z)
Soient P(x, y) et Q(x, y), deux fonctions définies sur un domaine S du plan. La fonction g définie par
g = P + ıQ est holomorphe dans S si :
g ,z = 0
Autrement dit g est fonction de la seule variable complexe z → g = g (z)
D’après les règle de dérivation (A.5), on a alors :
g ,z = 0 → g,x + ıg,y = 0
Soit en reposant dans la première formule (A.3) :
g,z = 1
2 (g,x + g,x) = g,x
g,z = 1
2 (−ıg,y − ıg,y ) = −ıg,y
compte tenu de l’expression de g on a l’égalité :
∂P
∂x
+ ı ∂Q
∂y
∂P ∂Q
= −ı +
∂y ∂y −→
−→ g ′ (z) = ∂g
∂x
−→ g ′ (z) = −ı ∂g
∂y
∂P
∂x
∂P
∂y
= ∂Q
∂y
= − ∂Q
∂x
Ces égalités correspondent aux conditions de Cauchy-Riemann. Ces relations impliquent ∆P = ∆Q =
0. Les parties réelle et imaginaire d’une fonction holomorphe sont harmoniques.
(A.4)
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