Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

3.2.2 Méthode de Westergaard
Adaptation de la méthode à la mécanique de la rupture
3.2. Expression analytique du facteur d’intensité de contrainte
Cette approche de Westergaard [183] a été développé en 1939. Ses équations constitutives ne sont
pas établies pour résoudre des problèmes de mécanique de la rupture. Certaines modifications ont
été apportées afin de rendre cette méthode de potentiel complexe plus adaptée à ce genre de problème.
Nous nous intéressons particulièrement à une structure symétrique en présence des fissures
dans le plan symétrique. Il s’agit de poser :
d’où :
f (z) = p(z) − s(z) (3.16)
g ′ (z) = p(z) + s(z) − z p ′ (z) − s ′ (z)
(3.17)
p = (g ′ + f + z f ′ )
2
et s = (g ′ − f + z f ′ )
2
Les équations (3.10), (3.11) et (3.5 ou 3.13) deviennent alors :
1 + k2
2µ(u + ıv) =
1 − k2 La condition (3.15) est ainsi changée :
Application en mode I
σx + σy = 4ℜ p ′ (z) − s ′ (z)
σy − σx + 2ıτx y = 4s ′ (z) − 2(z − z) p"(z) − s"(z)
p(z) − s(z) − p(z) − s(z) − (z − z) p ′ (z) − s ′
(z)
p(z) − s(z) + p(z) + s(z) + (z − z) p ′ (z) − s ′
(z) =
s
0
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(ıX − Y)d s (3.21)
Supposons que la structure et le chargement en mode I sont symétriques par rapport au plan y = 0
et que le signe (+) ou (−) désigne respectivement le semi-plan inférieur ou supérieur. Étant donné
deux points symétriques se situant à z0 et z0, leurs déplacements complexes respectifs (u0 + ıv0) et
(u0 − ıv0) valent :
1 + k2
2µ(u0 + ıv0) =
1 − k2
p+(z0) − s+(z0)
− p+(z0) − s+(z0) − 2ı y0 p ′ + (z0) − s ′ + (z0)
1 + k2
2µ(u0 − ıv0) =
1 − k2
p−(z0) − s−(z0)
− p−(z0) − s−(z0) + 2ı y0 p ′ − (z0) − s ′ − (z0)
On en déduit la conjugaison complexe de la dernière équation (3.23) :
1 + k2
2µ(u0 + ıv0) =
1 − k2
′
p−(z0) − s−(z0) − p−(z0) − s−(z0) − 2ı y0 p − (z0) − s ′
− (z0)
L’identification des équations (3.24) et (3.22) met en évidence les égalités suivantes :
(3.22)
(3.23)
(3.24)
p−(z) = p+(z), s−(z) = s+(z) (3.25)
Si la structure ne contient qu’une seule fissure (y = 0, b < x < c), le chargement en mode I comprend
trois possibilités :
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