Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

Angle de phase δ (°)
80
70
60
50
40
30
20
10
30 °C
20 °C
10 °C
0 °C
−10 °C
−15 °C
−20 °C
0
0 500 1000 1500 2000
|E*| (MPa)
(a) L’espace Black
4.3. Caractérisation dans le domaine fréquentiel
E’’ (MPa)
300
250
200
150
100
50
30 °C
20 °C
10 °C
0 °C
−10 °C
−15 °C
−20 °C
0
0 500 1000 1500 2000
E’ (MPa)
(b) Le plan Cole-Cole
FIG. 4.3 – L’espace Black et le plan Cole-Cole du liant 50/70 issues des données des essais de détermination
de module complexe
viscoélasticité linéaire. Dans ce cas, le diagramme Black (δ = f ◦ (|E ∗ |)) est une courbe continue. Cette
courbe lisse permet de confirmer le principe d’équivalence temps-température. On obtient donc le
même comportement mécanique pour différentes températures et pour les différentes fréquences de
chargement.
La représentation dans l’espace de Black consiste à tracer le logarithme de la norme du module
complexe |E ∗ | en fonction de l’angle de phase correspondant comme le montre la figure 4.3(a). On
constate que les points expérimentaux définissent une courbe unique, le matériau obéit donc au
principe d’équivalence temps-température.
4.3.3 Détermination du coefficient de translation aT
En considérant deux pulsations proches ωi et ωj avec ω = 2.π.f , on peut exprimer l’équation (4.5)
sous la forme suivante :
i ,j
δmoy . 2
π = log (|E∗ (T,ωj )|) − log (|E∗ (T,ωi )|)
log (ωj ) − log (ωi )
(4.6)
i ,j
avec δmoy la moyenne des deux angles de phase mesurées ωi et ωj à une température T.
Cette équation permet de tracer dl og (|E ∗ (ω)|)/dlog (ω) en fonction de δ/90 pour chaque température
en considérant deux fréquences voisines. La vérification comme le montre la figure 4.4 met en
évidence l’approximation (4.4) proposée par Booij.
Selon le principe d’équivalence temps-température, il existe un coefficient a(T1,T2) = f2/f1 = ω2/ω1
de telle sorte que |E ∗ (T1,ω1)| = |E ∗ (T2,ω2)|.
On peut donc réécrire l’équation (4.6) comme suit :
δ moy 2
(ω2). T1,T2 π = log (|E∗ (T1,ω2)|) − log (|E∗ (T2,ω2)|)
log (a(T1,T2))
avec δ moy
T1,T2 (ω2) est la moyenne des deux angles mesurés aux températures T1 et T2 pour une pulsation
ω2.
(4.7)
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