Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

|E*| (MPa)
10 4
10 3
10 2
10 1
10 0 10 0
10 1
Fréquence (Hz)
4.3. Caractérisation dans le domaine fréquentiel
10 2
−20°C
−15°C
−10°C
0°C
10°C
20°C
30°C
FIG. 4.2 – Isothermes du module complexe du liant pur 50/70
Les courbes isothermes dans la figure 4.2 sont obtenues en traçant le logarithme de la norme du
module complexe |E ∗ | en fonction de la fréquence pour chacune des températures d’essai.
On remarque, à l’examen de ces courbes, qu’une même valeur de module du matériau peut être
obtenue pour différentes couples (fréquence, température). Cette propriété est appelée le principe
d’équivalence temps-température (Williams, [184]).
Ce principe permet donc de construire une courbe unique appelée courbe maîtresse (log (|E ∗ |),log (f )),
pour une température de référence choisie.
Les relations Kramers-Kronig décrivant la partie réelle et imaginaire d’une fonction complexe permettent
d’écrire :
l og |E ∗ (ıw)| − log |E ∗ (ı∞)| = − 2
∞ u.δ(u) − ω.δ(ω)
π 0 u2 − ω2 du (4.2)
log |E∗ (u)| − log |E∗ (ω)|
u2 − ω2 du (4.3)
δ(ω) = 2ω
∞
π 0
En simplifiant l’équation (4.3), Booij [15] propose une expression approximative :
δ(ω) ≈ π dl og (|E
2
∗ (ω)|)
dlog (ω)
Dans le cas où le comportement du matériau obéit à une relaxation parabolique du type : f (t) = A.t α ,
l’approximation (4.4) devient alors, selon Stéfani [170] :
δ(ω) = π dl og (|E
2
∗ (ω)|)
dlog (ω)
La construction de la courbe maîtresse est pertinente lorsqu’il n’y a pas de réarrangement de
structure du réseau moléculaire avec la température et que l’essai s’effectue dans le domaine de la
10 3
(4.4)
(4.5)
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