Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

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Le module complexe du modèle Maxwell s’écrit comme suit : E ∗ (w) = E0 1.4. Comportement viscoélastique des liants bitumineux i wτ 1 + ıwτ = E0w 2η2 + ıE2 0ωη E 2 0 + ω2 η2 (1.12) En général, le matériau liant bitumineux possède une fonction de relaxation beaucoup plus complexe qui ne peut pas s’exprimer par une seule courbe exponentielle. Un modèle mathématique comprenant des éléments Mawxell à différents temps de relaxation τi en série peut décrire plus exactement la relaxation de ce matériau. Modèle de Maxwell généralisé Le modèle le plus simple pour représenter le comportement viscoélastique linéaire d’un matériau est le modèle de Maxwell généralisé en régime oscillatoire. Ce modèle est constitué par l’association en parallèle de n éléments de Maxwell. Chaque élément est défini par un module de rigidité Ei et par un coefficient de viscosité ηi . Lors d’un essai de relaxation où l’on impose une déformation donnée, on mesure l’évolution de la contrainte. Le module E(t) de relaxation est donné par la relation suivante : R(t) = n i=1 où τi = ηi /Ei représente le temps de relaxation. t − τ Ei e i (1.13) L’équation (1.13) représente le comportement d’un matériau viscoélastique à l’état liquide. Un groupe d’éléments de Maxwell en parallèle représente un spectre discret de temps de relaxation, chaque temps τi étant associé à une rigidité spectrale Ei (τi = ηi /Ei ). Un ressort peut également être placé en parallèle au groupe de n éléments de Maxwell. Le module de relaxation de ce modèle s’écrit alors comme suit : E ∝ E 1 η 1 E 2 η 2 E m η m FIG. 1.14 – Modèle viscoélastique Maxwell généralisé R(t) = E∞ + n i=1 E n η n t − τ Ei e i (1.14) Le module complexe correspondant E ∗ dans le domaine fréquentiel a la forme suivante : E ∗ (ı ω) = E∞ + n Ei i=1 ıωτi 1 + ıωτi (1.15) Supposons J(τ, t) la fonction de fluage ou de retard, par le principe de superposition de Boltzmann, on définit la déformation ε(t) d’un matériau viscoélastique linéaire la somme des réponses à 20
chacune des sollicitations élémentaires : ε(t) = 1.4. Comportement viscoélastique des liants bitumineux t t0 J(τ, t)dσ(τ) (1.16) Selon Mandel [112] et Couarraze [38], ce formalisme est adapté pour tout matériau viscoélastique. Dans les expériences de relaxation, la fonction de relaxation R(t) s’exprime de façon très simple en fonction des paramètres du modèle. 21
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