Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

d’où E ′ (w)
m et E ′′ (w)
m
Ei :
4.4. Identification des séries de Prony
sont les données expérimentales déterminées suivant l’équation 4.19.
Le problème consiste donc à minimiser la fonction objective suivante en fonction des coefficients
J = 1
2 e2 = 1
2
[B]2m,n+1 [E]n+1 −
′ E (w)
′′ E (w)
m
m
2
(4.24)
Les figures [4.9], [4.10], [4.11] et [4.12] décrivent la première optimisation avec 13 termes des séries de
Prony (n=13) à partir des données de la courbe maîtresse (§4.3.5) du liant bitumineux 50/70 étudié
(§4.2).
Partie réelle (MPa)
10 4
10 2
10 0
10 −5 10 −2
10 0
10 5
Fréquence (rad)
Réelle(E courbe maîtresse )
1è Optimisation
10 10
FIG. 4.9 – Partie réelle en fonction de la fréquence
Partie réelle (MPa)
300
250
200
150
100
50
Courbe maîtresse
1è Optimisation
0
0 500 1000 1500 2000
Partie imaginaire (MPa)
FIG. 4.11 – Partie réelle en fonction de partie imaginaire
Partie imaginaire (MPa)
10 3
10 2
10 1
10 0
10 −4 10 −1
10 0
10 4
Fréquence (rad)
Imag(E courbe maîtresse )
1è Optimisation
10 8
FIG. 4.10 – Partie imaginaire en fonction de la fréquence
Angle de phase (°)
1.5
1
0.5
0
10 −2
10 0
10 2
Norme du module (MPa)
Courbe maîtresse
1è Optimisation
10 4
FIG. 4.12 – Norme du module complexe en fonction
de l’angle de phase
Les figures (??) montrent sur le même graphe la courbe tracée à partir des données de la courbe
maîtresse et la courbe de la première optimisation selon l’équation (4.24). On remarque que pour
les hautes fréquence, les termes des séries de Prony de la première optimisation superposent avec
les données de la courbe maîtresse. Cependant, pour les basses fréquences (ou temps de relaxation
important), les deux courbes s’écartent. Une deuxième optimisation va permettre donc d’avoir une
solution plus précise.
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