Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

3.2.3 Application des potentiels complexes en milieu infini
3.2. Expression analytique du facteur d’intensité de contrainte
La méthode de Westergaard [183] appliquée aux problèmes de mécanique de la rupture est connue
pour un certain nombre de configuration de chargement. Dans le cas d’une petite fissure de longueur
2a (−a < x < a), traversant une plaque chargée dans son plan des contraintes imposées σy = σ∞ y ,σx =
σ∞ x , le facteur d’intensité de contrainte (FIC) selon (3.39) vaut :
K (−a)
= lim 2π(−a − x)σy (x)
I x→−a−0
Dans le plan de la fissure, c’est-à-dire pour y = 0, le FIC KI (à l’extrémité x = −a) est défini par :
KI = σ ∞ y
De plus, si l’origine choisie coïncide avec le centre de la fissure, on a :
p ′ (z) =
σ∞ y z
2(z2 − a2 ) 1/2 , s′ (z) = σ∞y − σ∞x 4
Ces fonctions choisies p(z) et s(z) satisfont également :
πa (3.42)
sur la portion y = 0,−a < x < a (3.43)
z2 − a2
= x2 − a2 sur la partie y = 0, x > a (3.44)
Si les constantes d’intégration sont choisies de telle sorte que :
On obtient donc :
Par conséquent :
v = 0 pour y = 0,|x| > a
u = 0 pour z = 0
p(z) = σ∞y 2 (z2 − a 2 ) 1/2 , s(z) = σ∞y − σ∞x 4
z (3.45)
σx = σ ∞ x − σ∞y + σ∞y ℜ
z
(z2 − a2 ı y a
−
) 1/2 2
(z2 − a2 ) 3/2
σy =
σ
(3.46)
∞ y ℜ
z
(z2 − a2 ı y a
+
) 1/2 2
(z2 − a2 ) 3/2
(3.47)
τx y =
y a
−2ℜ
2
(z2 − a2 ) 3/2
u =
(3.48)
σ∞y 2µ ℜ
2 k
1 − k2 (z2 − a 2 ) 1/2 ı y z
−
(z2 − a2 ) 1/2
− σ∞y − σ∞x 4(1 − k2 v =
x
)µ
(3.49)
σ∞y 2µ ℑ
1
1 − k2 (z2 − a 2 ) 1/2 ı y z
−
(z2 − a2 ) 1/2
+ σ∞y − σ∞x y
4µ
(3.50)
On s’intéresse notamment à la solution de contrainte normale dans le plan symétrique ainsi que
l’ouverture de la fissure :
σy = σ∞y |x|
x2 − a2 =
KI|x|
pour y = 0,|x| > 0 (3.51)
πa(x 2 − a2 )
(3.52)
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