Etude numérique de la fissuration d'un milieu viscoélastique - Pastel

3.2. Expression analytique du facteur d’intensité de contrainte
3.2 Expression analytique du facteur d’intensité de contrainte
3.2.1 Potentiel complexe des problèmes plans
La relation constitutive s’établit à partir de la représentation Papkovich du champ de déplacement
(Papkovich, 1932) :
2µu = 4(1 − ν)Ψ − grad ϕ + r Ψ
(3.1)
d’où :
ˆx, ˆy, ˆz : les vecteurs unitaires des directions correspondantes x, y et z.
u = u ˆx + v ˆy + w ˆz : le vecteur déplacement.
r x ˆx + y ˆy + z ˆz : le vecteur position.
ϕ et Ψ = ϕx ˆx + ϕy ˆy + ϕz ˆz : le scalaire et le vecteur potentiel satisfaisant l’équation :
Avec l’hypothèse de déformation plane :
△ ϕ = 0, △Ψ = 0 (3.2)
u = u(x, y), v = v(x, y), w = 0
les fonctions potentielles ne dépendent que de x et de y :
ϕz = 0 (3.3)
Puisque ϕ, Ψx et Ψy sont les fonctions harmoniques, elles peuvent donc s’exprimer par la partie
imaginaire ou réelle d’une fonction analytique :
Ψx = ℜf (z), ϕy = ℑf (z), ϕ = ℜg (z) (3.4)
d’où f (z) et g (z) sont les fonctions analytiques dans le domaine occupé par le solide. Remplaçons
les expressions (3.4) dans la représentation Papkovich (3.1), on obtient :
2µ(u + ıv) =
=
∂ ∂ ℜg
4(1 − ν)f (z) − + i (z) + ℜ z f (z)
∂x ∂y
4(1 − ν)f (z) − ∂
g (z) + g (z) + z f (z) + z f (z)
∂z
= (3 − 4ν)f (z) − z f ′ (z) − g ′ (z)
On en déduit sa conjugaison correspondante :
2µ(u + ıv) = (3 − 4ν)f (z) − z f ′ (z) − g ′ (z) (3.5)
2µ(u − ıv) = (3 − 4ν)f (z) − z f ′ (z) − g ′ (z) (3.6)
À partir de la loi de Hooke d’un problème d’élasticité avec l’hypothèse de déformation plane :
σi j = λεll δi j + 2µεi j .
Soit encore :
σxx = (λ + 2µ)εxx + λεy y
σy y = (λ + 2µ)εy y + λεxx
52