Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

4 Verfahren für Produktgraphen( )(zi ⊗ zein Eigenwert zum Eigenvektor v i,j,± =jw. Insbesondere ist vϕ i,j,± z i ⊗ z 1,1,+ =j w)Eigenvektor zum Eigenwert ϕ 1,1,+ = 1. Der zweitgrößte Eigenwert istγ S 1 = ϕ 1,2,+= βγ√β2 + 2 γ 2+ 1 − β4==γ1 + √ 1 − γ 2 + √ √√√ γ 2(1 + √ 1 − γ 2 ) 2+ 1 −γ(1 − √ )1 − γ 21 − (1 − γ 2 )= 1 − √ 1 − γ 2γ.+ 021 + √ 1 − γ 2Für die Matrix S 2 erhält man ähnliche Resultate. Zum Eigenwert (σ i,± σ j,± ) gehört derEigenvektor⎛⎞z i ⊗ z jv i,±,j,± = ⎜ σ j,± z i ⊗ z j⎟⎝ σ i,± z i ⊗ z j⎠σ i,± σ j,± z i ⊗ z jmitσ ι,± = βµ √ι β2 ± 2 µ 2 ι4+ 1 − β .Der zweitgrößte Eigenwert ist γ S 2 = (σ 1,+ σ 2,+ ) und stimmt mit γ S 1überein.Korollar 4.7. Für optimal gewähltes α und β konvergieren ADI-SOS und ADI-SOS2gleich schnell.Beweis. Die Konvergenzgeschwindigkeit wird jeweils bestimmt durch den zweitgrößtenEigenwert der Matrizen S 1 bzw. S 2 , die nach Satz 4.6 übereinstimmen. Die Iterationwirkt nämlich nur auf das orthogonale Komplement ( des Vektors der Gleichverteilung.wIm Falle des ADI-SOS2 steht der Vektor v 1,1,+ = senkrecht auf allen übrigen Eigenvektorenmit Ausnahme von v 1,1,− =. Aufgrund der Tatsache, dassw)( )w(β − 1) w( ) wk−1die Gesamtlast erhalten bleibt, enthalten die Iteriertenw k aber keinen Anteil inRichtung von v 1,1,− . Für ADI-SOS2 gilt entsprechendes.Die Aussagen über die vergleichbare Konvergenz beider Verfahren lassen sich wegender geforderten Optimalität der Parameter für beide Richtungen nicht auf den Fall verschiedenerFaktoren übertragen.100