Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

4.4 ADI-SOS und ADI-Čebyšev1.1T 24 , ADC-OPT10 −6‖x(g)‖ 2‖xmin‖ 21.081.061.041.0210 −710 −810 −910 −1010 −11e m−1110 −120 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 10−13gAbbildung 4.3: Abhängigkeit des ADC-OPT-Verfahrens mit Leja (g) -Sortierung vom Exponenteng der Gewichtsfunktion ω(z) = |z| g . Dargestellt ist, um welchenFaktor der Fluss über dem Minimum liegt (durchgezogene Linie,linke Skala) und der abschließende Fehler e m−1 (gestrichelte Linie, rechteSkala)4.4 ADI-SOS und ADI-ČebyševAls erstes Verfahren, das in jedem Schritt auf die zwei letzten Iterierten zurückgreift, wirddas ADI-SOS betrachtet. Hierzu werden zwei verschiedene Möglichkeiten der Umsetzungbetrachtet. Die erste stammt aus [Els02], die zweite und neue, hier zur Unterscheidungmit ADI-SOS2 bezeichnete, ist etwas aufwändiger, wird sich dafür aber im nächsten Abschnittauf das OPS übertragen lassen. Zur Vereinfachung der Darstellung wird hier nurein einfaches ”quadratisches“ Produkt G = G (1) × G (1) betrachtet. Eine Übertragung aufverschiedene Faktorgraphen in G = G (1) × G (2) ist aber möglich. Zur Vorabbestimmungder Anzahl benötigter Schritte muss man dann die ”langsamste“ Richtung betrachten.Weitere Hinweise zum allgemeinen Fall werden an den jeweiligen Stellen gegeben.ADI-SOSDas ADI-SOS aus [Els02] beruht auf der Iteration(w 1 = M (1) ⊗ M (1)) w 0(w k = β M (1) ⊗ M (1)) w k−1 + (1 − β) w k−2 k = 2, 3, . . .und ist ausführlicher in Algorithmus 4.6 dargestellt.In unserem Spezialfall entspricht der optimale Wert für β dem Wert β (1)opt des Faktorgraphenund die Anzahl der Iterationen verringert sich gegenüber dem normalen SOSum den Faktor √ 2 [Els02]. (Bei nicht-quadratischen Produkten nimmt man β (i)opt , wobei95