Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

1 EinleitungVor Ausführung eines Loadbalancing-Verfahrens besitze jeder Knoten i, i = 1, . . . , ndie Last w 0 i ∈ N 0. Als Ausgangslastverteilung bezeichnet wird der Vektorw 0 = ( w 0 1, . . . , w 0 n) T.Zu berechnen ist der Vektor der Gleichverteilungw = 1 nn∑wi 0 · (1, . . . , 1) T .i=1Es sei x ∈ R N ein Fluss auf dem Graphen G. Die Richtung des Flusses wird bestimmtdurch die von der Inzidenzmatrix A festgelegten Richtungen der Kanten und die Vorzeichender Einträge in x; x e > 0 steht für einen Fluss in Richtung der Kante e und x e < 0für einen Fluss in entgegengesetzter Richtung.Definition 1.6. Ein Fluss x ∈ R N auf einem Graphen G heißt ausgleichender Fluss,falls gilt:Ax = w 0 − wBemerkung 1.7. Der ausgleichende Fluss ist genau dann eindeutig bestimmt, wenn derGraph G keine Zyklen hat, also ein Baum ist. Andernfalls könnten nämlich die Flusswerteentlang eines Zyklus um einen konstanten Wert verändert werden, ohne dass sichdie Eigenschaft des ausgleichenden Flusses ändert. Ist umgekehrt der Fluss nicht eindeutig,dann gibt es zwei verschiedene Flüsse x 1 , x 2 mit Ax 1 = Ax 2 . Damit gilt aberA (x 1 − x 2 ) = 0 und x 1 − x 2 ist ein zirkulärer Fluss.1.2 Allgemeines VorgehenDie Knoten des oben definierten Graphen entsprechen den Prozessoren eines Parallelrechners.Der Datenaustausch zwischen diesen erfolgt ausschließlich über die Kanten desGraphen, also nur zwischen adjazenten Knoten.Prinzipiell ließe sich ein iteratives Loadbalancing-Verfahren so organisieren, dass injedem Iterationsschritt Lasteinheiten zwischen den Prozessoren ausgetauscht werden,bis eine Gleichverteilung hergestellt ist [Cyb89, MGS96]. Aus Effizienz- und algorithmischenGründen findet üblicherweise jedoch eine Unterteilung in zwei Phasen statt[DFM99, HB95]. Zunächst wird keine Last bewegt. Stattdessen werden nur einzelneZahlen (Lastwerte) versandt und ein ausgleichender Fluss bestimmt. Erst in der zweitenPhase, dem Scheduling, werden tatsächlich Lasten anhand dieses Flusses verschoben.Dies hat zum einen den Vorteil, dass Loadbalancingalgorithmen nicht nur mit ganzzahligen,sondern auch reellen, negativen und sogar komplexen Lastwerten rechnen können.Zum anderen wird so verhindert, dass einzelne Lasten in aufeinander folgenden Schrittenunnötig zwischen zwei benachbarten Prozessoren hin- und hergeschoben werden,vergleiche Abschnitt 5.1 in [DFM99].18