Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.5 Endliche Dimension-Exchange-VerfahrenDer Eigenwert ϱ ( M (S)DE) = 1 ist laut [HJ85, Th. 8.4.4] einfach, falls die Matrix M (S)DEirreduzibel ist.Für eine beliebige Matrix A = (a ij ) definiere struct(A) = {(i, j) | a ij ≠ 0} die Strukturvon A. Es ist M DE = M c · · · M 1 , wobei alle M i wegen α ∈ (0, 1) nicht-negativ sind undpositive Diagonalelemente haben. Damit ist struct ( M DE) ⊇ struct (M i ) für i = 1, . . . , cund es folgt(struct M DE) ⊇ struct (M c + · · · + M 1 )= struct (L c + · · · + L 1 )= struct(L)= struct(M) .Es ist M DE also irreduzibel, sofern der zugrunde liegende Graph zusammenhängend ist.Wegen M SDE = ( M DE) T M DE ist diese Matrix ebenfalls irreduzibel.Das nachfolgende Lemma stellt sicher, dass die Iteration mit der Matrix M DE , obwohldiese unsymmetrisch ist, wie im Diffusionsfall nur auf dem orthogonalen Komplementvon w arbeitet.Lemma 3.13. Es sei z 1 = e = (1, . . . , 1) T und z ein weiterer Eigenvektor von M DE zumEigenwert µ ≠ 1. Dann stehen z 1 und z senkrecht aufeinander.Beweis. Da M DE doppelt stochastisch ist, ist M DEH z 1 = z 1 . Dann gilt:( ) ( Hz H z 1 = z H M DEH z 1 = M z) DE z1 = µz H z 1Wegen µ ≠ 1 ist also 〈z 1 , z〉 = 0.Damit lässt sich Lemma 2.14 (w = z 1 ) auf die Matrix M DE übertragen und folgenderSatz wird exakt so bewiesen wie Satz 2.18.Satz 3.14. Das DE-OPT-Verfahren endet nach m−1 Iterationsschritten mit w m−1 = w,wobei m die Anzahl paarweise verschiedener Eigenwerte von M DE ist.Als nächstes Verfahren wird DE-OPS betrachtet, vergleiche AlgorithmusInnenprodukt wird analog zum Diffusions-OPS〈p, q〉 =m∑j=2ω j p(µ DEj )q(µ DEj )3.7. Alsverwendet mit ω j = 1 − µ DEj . Die Berechnung der α k , β k und γ k wird ohne Änderungaus den Gleichungen (2.2) bis (2.4) übernommen.Satz 3.15. Das DE-OPS-Verfahren endet nach m−1 Iterationsschritten mit w m−1 = w,wobei m die Anzahl paarweise verschiedener Eigenwerte von M DE ist; es kann jedochvorkommen, dass das Verfahren in der Vorbereitungsphase bei der Berechnung eines α kmit einer Division durch 0 abbricht.47