Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

6 Scheduling-VerfahrenIn den vorangegangenen Kapiteln ist eine Vielzahl von Verfahren vorgestellt worden, diealle — ausgehend von einer anfänglichen Lastverteilung w 0 — einen Fluss x berechnen,der diese Lasten ausgleichen soll. Obwohl man hier von Loadbalancing-Verfahren spricht,ist bisher noch keine einzige Lasteinheit von einem Prozessor zu einem anderen bewegtworden — dies ist Aufgabe des sich nun anschließenden Schedulings. Im Idealfall mussjeder Prozessor weniger Last an seine Nachbarn abgeben, als er anfänglich besitzt; dannkann der Fluss in einem einzigen Schritt erfüllt werden. Anderenfalls muss eine der untenbeschriebenen Strategien angewandt werden.6.1 Das Scheduling-ProblemDie folgende formale Beschreibung des Scheduling-Problems ist angelehnt an die in[DFM99].Gegeben sei ein Graph G mit Adjazenzmatrix A, eine Anfangslastverteilung w 0 sowieein ausgleichender Fluss x, also Ax = w 0 − w. Es wird zur Vereinfachung angenommen,dass die durch A festgelegte Richtung der Kanten jeweils der Flussrichtung entspricht,d. h. x i ≥ 0 für alle i. Es sei A = A + + A − eine Zerlegung von A in ihren positivenund negativen Anteil, also a + ij = max {a ij, 0} und a − ij = min {a ij, 0}. Gesucht ist eineZerlegung des Flusses S(x) = (˜x 0 , . . . , ˜x k−1) mit x = ∑ k−1j=0 ˜xj undso dassA˜x j = A } {{ +˜x }j + A} {{ −˜x }j = w j − w j+1 ,senden empfangenw j ≥ A +˜x j für alle j ∈ {0, . . . , k − 1}ist, wobei die Ungleichung komponentenweise erfüllt sein muss. Die Zerlegung S heißtzeitoptimal, falls k minimal ist unter all solchen Zerlegungen.6.2 Scheduling-VerfahrenEin zeitoptimales Scheduling ist schwer zu finden. Stattdessen werden in der Praxis heuristischeVerfahren verwendet; ein allgemeiner Rahmen für ein solches Verfahren ist inAlgorithmus 6.1 angegeben. Schon für die Loadbalancing-Verfahren galt die Forderung,dass sie ohne globale Kommunikation auskommen sollen. Entsprechend soll auch hier dieBestimmung des Teilflusses ˜x k in jedem Schritt nur auf lokalen Informationen beruhen.121