Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

2 DiffusionsverfahrenLemma 2.17 ([DFM99, Lemma 2]). Es sei w 0 = ∑ mi=1 z i wie in Lemma 2.14. Danngilt:e 0 =m∑i=2z ie k = p k (M Diff )e 0m∑= p k (µ Diffi )z i , k = 0, 1, 2, . . .i=22.2 Einfache Diffusionsverfahren: FOS, SOS und ČebyševDas erste Diffusionsverfahren wurde 1989 von Cybenko entwickelt [Cyb89]. In jedemSchritt vergleichen die Prozessoren ihre aktuelle Last mit der aller ihrer Nachbarn. Überjede Kante wird das α-fache der Lastdifferenz in Richtung des Knotens mit der geringerenLast verschoben. Dieses Verfahren wird auch als First Order Scheme (FOS) bezeichnet.Für Prozessor i ergibt sich im Schritt k Algorithmus 2.1.for all e = {i, ( j} ∈ E do )yek−1 = α wik−1 − wjk−1x k e = x k−1e + yek−1end forwi k = wk−1 i− ∑ e={i,j}∈E yk−1 eAlgorithmus 2.1: Schritt k des FOS-Verfahrens für Prozessor iBetrachtet man das Verfahren nun nicht mehr lokal aus Sicht eines Prozessors sondernglobal, so erhält das FOS-Verfahren bei Verwendung der Diffusionsmatrix M Diff dieeinfache Gestalt aus Algorithmus 2.2.x 0 = 0for k = 1, 2, . . . dow k = M Diff w k−1x k = x k−1 + αA Diff T w k−1end forAlgorithmus 2.2: FOS-Verfahren, Matrix-VersionBei allen folgenden Verfahren wird jeweils nur noch die Matrix-Version des Algorithmusangegeben, die Beziehung zwischen lokaler und globaler Sicht ist in allen Fällen mitdem FOS vergleichbar.Für die zugehörigen Polynome p FOSkmit w k = p FOSk(M Diff )w 0 giltp FOSk (t) = t k ;28