Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

2 DiffusionsverfahrenG keinem der obigen Standardgraphen entspricht, müssen die Eigenwerte zu Beginn derRechnung einmal bestimmt werden, anschließend kann das OPS- oder OPT-Verfahrenmit diesen Eigenwerten beliebig oft durchgeführt werden.Das folgende Resultat erklärt in Verbindung mit Lemma 2.10 nochmals die Eigenwertformelnfür Gitter, Tori und (bei mehrfacher Anwendung) auch Hypercubes. Fernererlaubt es, die Eigenwerte beliebiger anderer Produktgraphen effizient zu berechnen.Lemma 2.21 ([HJ91, Theorem 4.4.5]). Es sei A ∈ C p×p und B ∈ C q×q . Sindλ und µ Eigenwerte von A bzw. B mit zugehörigen Eigenvektoren x und y, dann istλ + µ Eigenwert des Kronecker-Produktes I q ⊗ A + B ⊗ I p mit Eigenvektor y ⊗ x. JederEigenwert von I q ⊗ A + B ⊗ I p lässt sich als ein solches Produkt schreiben.Wie lange das Loadbalancing mit OPS oder OPT dauert, hängt ab von der Anzahlm der verschiedenen Eigenwerte von L Diff bzw. M Diff . Für einige Graphen, bei denenFormeln für die Eigenwerte existieren, sind die entsprechenden Werte von m inTabelle 2.2 abgedruckt. Die Werte für Pfad, Zyklus, Hypercube und Stern ergebensich unmittelbar aus den Formeln in Tabelle 2.1. Für quadratische Gitter gilt offenbarm(G) ≤ 1 2m(P ) (m(P ) + 1) und für Tori entsprechendes. Hiermit erhält man dieFaktoren 1 2 bzw. 1 8 vor k2 . Für die tatsächlichen Zahlen ist zu beachten, dass weitereEigenwerte doppelt auftreten. Die Obergrenzen für Gitter und Tori in der Tabelle sindexperimentell ermittelt.GraphAnzahlP nn1C n 2 | n2 n + 112 ∤ n2 n + 1 2G k 2 | k2 ∤ k≤ 1 2 k2 + 1≤ 1 2 k2 + 3 2T k 4 | k ≤ 1 8 k2 + 1 2 k + 12 | k, 4 ∤ k ≤ 1 8 k2 + 1 2 k + 3 22 ∤ k ≤ 1 8 k2 + 1 2 k + 3 8H d d + 1S n 3K n 2Tabelle 2.2: Anzahl der verschiedenen Eigenwerte bei Standardgraphen2.5 Stabilität und Sortierung der EigenwerteIm Gegensatz zum OPS-Verfahren hat die Reihenfolge der Eigenwerte λ Diffi beim OPT-Verfahren entscheidenden Einfluss auf die numerische Stabilität. Sortiert man die Eigenwerteaufsteigend, so ergeben sich nach wenigen Schritten sehr große Fehler e k . Bei34