Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

1 EinleitungDieses Kapitel beginnt mit einer mathematischen Definition des Loadbalancing-Problems.Es folgen Einführungen zum allgemeinen Ablauf des Loadbalancings, Anwendungsfällenund Parallelrechnerarchitekturen bzw. -topologien sowie hierzu passendenVerfahrensklassen. Abgeschlossen wird das Kapitel mit einigen weiteren Definitionenspezieller Graphen und Matrizen.1.1 Das Loadbalancing-Problem und Matrizen für GraphenFür die gesamte Arbeit gelte die folgende Generalvoraussetzung.Definition 1.1. Es sei G = (V, E) ein zusammenhängender ungerichteter Graph mitn = |V | Knoten und N = |E| Kanten. Die Knoten werden mit 1, . . . , n und die Kantenmit e 1 , . . . , e N bezeichnet.Graph-Beispiel 1.2. Alle in dieser Arbeit folgenden ”Graph-Beispiele“ werden sich aufdiesen Pfad der Länge 3 (P 3 ) beziehen.1 21 2 3Hier ist also V = {1, 2, 3} und E = {{1, 2} , {2, 3}}.Zur Beschreibung solcher Graphen wird nun die Inzidenzmatrix definiert.Definition 1.3. Die zum Graphen G gehörende Knoten-Kanten-Inzidenzmatrix A ∈{0; 1; −1} n×N mit A = (a ij ) ist definiert durch⎧⎪⎨ 1 falls e j = {i, k} existiert mit i < ka ij = −1 falls e j = {i, k} existiert mit i > k⎪⎩0 sonst.Bemerkung 1.4. Entgegen der Definition 1.1 wird durch Definition 1.3 jeder Kante eineRichtung zugeordnet. Die hier gewählten Richtungen sind rein willkürlich und könntenauch anders festgesetzt werden, ohne dass sich hierdurch im Folgenden Entscheidendesändert.Graph-Beispiel 1.5.⎛1⎞0A = ⎝−1 1 ⎠0 −117