Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

7 Kurze AusblickeVor einer Zusammenfassung der Ergebnisse werden noch kurz einige Aspekte des Loadbalancingsbetrachtet, die in dieser Arbeit bisher unbeachtet geblieben sind.7.1 Unterschiedliche KantengewichteBisher wurde das Kantengewicht α immer konstant gehalten. Möchte man bestimmteKanten für den Lastaustausch bevorzugen, so muss man zu individuellen Gewichtenα 1 , . . . , α N übergehen. Gründe hierfür können verschieden leistungsfähige Netzwerkverbindungensein oder geometrische Gründe bei Gebietszerlegungen. Die Ergebnisse in[DFM99] zu Diffusionsverfahren lassen sich folgendermaßen verallgemeinern. Die bisherigenMatrixdefinitionen werden ein wenig abgeändert:A = diag(α 1 , . . . , α N )˜L i = A i AA T i˜M i = I − ˜L ià ALG wie bisher mit ˜M j statt M j˜L ALG = AAÃALGT˜M ALG = I −˜LALGDas kantengewichtete ALG-FOS berechnet die Wertew k = ˜M ALG w k−1 , x k = x k−1 + AÃALGT w k−1 , k = 1, 2, . . . .Alle anderen Verfahren werden entsprechend angepasst. In Analogie zu Satz 3.36 gilt fürdie FlüsseHierbei istx ALG = AÃALGT ˜LALG + A˜x, ˜x irgendein ausgleichender Fluss∥ ∥ ∥∥x ALG ∥∥A ∥∥∥ ≤ AÃALGT ˜LALG + ∥A∥−1 ∥ ∥x Diff ∥∥A−1A −1=∥ A 1 2 à ALGT ˜LALG + AA − ∥ 12∥∥x Diff∥∥2‖x‖ A −1 =∥A −1( ∥ N)∥∥A − 1 ∥∥2∑1 212 x = x 2 iα iund der Diffusionsfluss ist nach [DFM99] in dieser Norm minimal.i=1,127