Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

2 Diffusionsverfahren(Definition 2.5. Die Laplace-Matrix L Diff ∈ Z n×n , L Diff =durch⎧⎪⎨ deg(i) falls i = jlij Diff = −1 falls {i, j} ∈ E⎪⎩0 sonst .Graph-Beispiel 2.6.Bemerkung 2.7. Es gilt⎛1 −1⎞0L Diff = ⎝−1 2 −1⎠0 −1 1M Diff = I − αL Diff .l Diffij), von G wird definiertDer Sinn der nachfolgenden Definition wird später deutlich werden, wenn andere Verfahrenbetrachtet werden, bei denen die entsprechenden Matrizen (hier A und A Diff )nicht mehr identisch sind.Definition 2.8. Für einen Graphen G, auf den ein Diffusionsverfahren angewandt werdensoll, definiert manA Diff = A .Bemerkung 2.9. Es giltL Diff = AA Diff T .Mit diesen Bezeichnungen entspricht die Berechnung der Gleichverteilung der Lösungdes singulären linearen Gleichungssystems L Diff w = 0. Die Matrix L Diff hat Rang n − 1,nach [HJ85, Th. 8.4.4] ist nämlich 1 ein einfacher Eigenwert von M Diff und 0 damiteinfacher Eigenwert von L Diff . Eindeutig wird die Lösung des Systems durch die Forderung,dass die Gesamtlast unverändert bleibt. Äquivalent hierzu ist die Suche nach demFixpunkt w in der Gleichung Mw = w.Die Laplace- und Diffusionsmatrizen der in Definition 1.8 eingeführten Produktgraphenlassen sich leicht aus den Matrizen der kleineren Faktorgraphen“ bestimmen.”Lemma 2.10. Es sei G = G (1) × G (2) ein Produktgraph mit ∣ ∣V (1)∣ ∣ = p und ∣ ∣V (2)∣ ∣ = q.Dann ergeben sich die Diffusions- und Laplace-Matrix von G auf folgende Weise ausden Matrizen der Faktorgraphen G (1) und G (2) , wobei für beide dasselbe Kantengewichtα verwendet wird:L Diff = I q ⊗ L Diff (1) + L Diff (2) ⊗ I pM Diff = I q ⊗ M Diff (1) + M Diff (2) ⊗ I p − I pqBeweis. Die Gleichung für L stammt aus [EFMP99], die für M lässt sich hiermit leichtnachrechnen.Für einige der später zu betrachtenden Verfahren wird die Kenntnis der Eigenwerteder Diffusions- bzw. Laplace-Matrix vorausgesetzt.26