Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.7 Flussminimierungman alle Knotennummern um eins, so unterschieden sich die Endknoten von Kanten derFarbe j in der Binärdarstellung nur im j-ten Bit.7 83 45 6(1)(2)(3)1 2Abbildung 3.6: Einfärbung des Hypercubes H dDieselbe Einfärbung ergibt sich, wenn man den Hypercube H d auffasst als d-fachesProdukt von Pfaden P 2 der Länge 2. Damit istM DE =d⊗( 1 − α α)α 1 − αi=1und hat als Eigenwerte 1, 1 − 2α, . . . , (1 − 2α) d . Wählt man speziell α = 1 2, so existierennur zwei Eigenwerte, nämlich 0 und 1. Dies stimmt mit den Ergebnissen in [Cyb89]überein.Da die Matrix M DE symmetrisch ist, ist M SDE = ( M DE) 2 und hat folglich die Eigenwerte1, (1 − 2α) 2 , . . . , (1 − 2α) 2d .3.6.9 ZusammenfassungIn Tabelle 3.2 sind für alle bisher betrachteten Einfärbungen und Verfahren die Anzahlender Eigenwerte der zugehörigen Matrizen zusammengefasst. Die Zahl der Schritte,die die Verfahren benötigen ist jeweils um eins geringer. Um genaue Aussagen über dasLaufzeitverhalten zu erlangen, muss aber jeweils noch die Anzahl der Teilschritte proSchritt mit berücksichtigt werden, vergleiche hierzu Abschnitt 3.9. Zusätzlich ist derAufwand zur Bestimmung der Eigenwerte für die Dimension-Exchange-Verfahren angegeben.Dort, wo für den Aufwand zwei verschiedene Werte angegeben sind, gilt derkleinere Wert jeweils für den Fall α = 1 2 und der größere für α ≠ 1 2 .3.7 FlussminimierungBei den Diffusionsverfahren ist bekannt, dass die berechneten Flüsse in der l 2 -Norm minimalsind [HB99, DFM99]. Dies ist beim Dimension-Exchange, wie Experimente zeigen,in der Regel nicht der Fall. Die einzigen Graphen, für die diese Beobachtung nicht zutrifft,sind Bäume (also z. B. auch Pfade), bei denen der Fluss nämlich eindeutig bestimmt ist.Bei allen übrigen Graphen, also Graphen mit Zyklen, deuten Messungen darauf hin, dass63