Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.8 Abschätzungen für Flüssex ALG = limk→∞ xALGk= A ALGT m ∑i=21λ ALGiz iSatz 3.33 hat den Nachteil, dass er die üblicherweise unbekannte Zerlegung von w 0 inEigenvektoren benutzt. Der folgende Satz vermeidet dies.Satz 3.35. Es sei ALG ∈ {Diff, DE, SDE, DEcc, DEfb} eine Loadbalancing-Verfahrensklasse.Ferner sei w 0 die Ausgangslastverteilung. Dann wird von dem Verfahren folgenderFluss x ALG bestimmt:x ALG = A ALGT L ALG+ w 0Beweis. Zunächst ist festzustellen, dass das angegebene x ALG tatsächlich ein ausgleichenderFluss ist:Ax ALG = AA ALGT L ALG+ w 0 = L ALG L ALG+ w 0 =(I − 1 )n J w 0 = w 0 − wNun wird wieder die Zerlegung w 0 = ∑ mi=1 z i von w 0 in Eigenvektoren von L ALG ausSatz 3.33 betrachtet. Für i ≠ 1 erhält man mit Hilfe von Satz 3.28L ALG+ L ALG z i =(I − 1 )n J z i = z i ,denn wegen z 1 ⊥z i ist Jz i = 0. Also istund schließlichL ALG+ z i = 1λ ALG z iiA ALGT L ALG+ w 0 = A ALGTm ∑i=21λ ALGiwas mit der bekannten Formel aus Satz 3.33 übereinstimmt.Damit ist es nun möglich, den Fluss für ein bestimmtes Verfahren auf einem bestimmtenGraphen unabhängig von der Anfangslast w 0 abzuschätzen.Satz 3.36. Es sei ALG ∈ {Diff, DE, SDE, DEcc, DEfb} eine Loadbalancing-Verfahrensklasse.1. Ist ˜x ein beliebiger ausgleichender Fluss, so erhält man den mit dem speziellenVerfahren berechneten Fluss x ALG durchInsbesondere ist x ALG unabhängig von der Wahl von ˜x.z i ,x ALG = A ALGT L ALG+ A˜x . (3.7)73