Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-Verfahren2. Die l 2 -Norm des Flusses x ALG ∥liegt maximal um den Faktor ∥A ALGT L ALG+ A∥ 2∥über der Norm des minimalen Flusses. Insbesondere ist also ∥A T L Diff + A∥ = 1,2da Diffusionsverfahren minimale Flüsse bestimmen.3. Für jeden Graphen und jedes Verfahren lässt sich eine Ausgangslastverteilung w 0finden, so dass die Schranke aus Teil 2 genau angenommen wird.Beweis.1. Nach Satz 3.35 und mit w 0 = A˜x + w istx ALG = A ALGT L ALG+ (A˜x + w) .Aus w T L ALG = w T AA ALGT = 0 folgt mit Lemma 3.29 aberL ALG+ w = 0 .2. Nimmt man für ˜x den minimalen Fluss x Diff , so folgt aus Gleichung (3.7) unmittelbar∥ ∥ ∥∥x ALG∥∥∥ ≤ ∥A ALGT L ALG+ ∥∥x DiffA∥ ∥ .2 2 23. Sei N = A ALGT L ALG+ A und ν = ‖N‖ 2. Das heißt, ν 2 ist der größte Eigenwert vonN T N. Ferner sei y ein zugehörige Eigenvektor, also N T Ny = ν 2 y. Der Vektor ylässt sich auffassen als Fluss auf dem Graphen. Eine passende Anfangslastverteilungerhält man aus Ay = w 0 − w, indem man w zunächst beliebig wählt. Erhöhedann w 0 und w um Vielfache von w, bis alle Komponenten von w 0 nicht-negativsind. Für den mit dem speziellen Verfahren berechneten Fluss x gilt dann:(Es ist also y ein minimaler Fluss.)‖x‖ 2= ‖Ny‖ 2= ( y T N T Ny ) 12= ν ‖y‖ 2Aus Teil 1 des Satzes folgt unmittelbar:Korollar 3.37. Alle Flüsse, die von beliebigen Dimension-Exchange-Verfahren berechnetwerden, sind trotz eventuell komplexer Eigenwerte reell.∥Tabelle 3.3 enthält experimentell ermittelte Werte für ∥A ALGT L ALG+ A∥ für verschiedeneVerfahren und Graphen. XXX steht hierbei für einen beliebigen Verfahrenstyp, also2FOS, OPS oder OPT.Einige wenige dieser Resultate lassen sich zudem theoretisch bestätigen, vergleichehierzu die nachfolgenden Sätze. Zunächst aber wird noch ein allgemeinerer Satz zumNachweis minimaler Flüsse bewiesen.74