Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.6 Eigenwerte gefärbter Graphen3.6.5 Zyklus C n mit ungeradem nBei den bisher betrachteten Pfaden und Zyklen genügten immer zwei verschiedene Farben.Zur Einfärbung von Zyklen ungerader Länge werden mindestens drei Farben benötigt.Werden keine weiteren Voraussetzungen an n gemacht, bietet sich die erste Einfärbungaus Abbildung 3.4 an. Die Kanten {1, 2} , . . . , {n − 1, n} werden abwechselnd mitden Farben 1 und 2 belegt und Kante {1, n} bekommt Farbe 3. Leider ist es für dieseEinfärbung bisher nicht gelungen, Aussagen über die Eigenwerte zu beweisen.C n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15C [3]n , 3 | n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15C n[5a] , 5 | n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15C n[5b] , 5 | n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15C n[5c] , 5 | n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15(1)(2)(3)(4)(5)Abbildung 3.4: Einfärbung von Zyklen C n mit ungeradem nErfreulicher gestaltet sich der Spezialfall, dass n durch 3 teilbar ist. Dann kann mannämlich den Kanten zyklisch drei Farben zuweisen, wie dies in der Abbildung unterC n[3] dargestellt ist. Die zu den drei Farben gehörenden Matrizen M 1 , M 2 und M 3 sindblockzirkulant mit Blockgröße 3. Entsprechend sind auch die Produkte hiervon, M DEund M SDE , blockzirkulant. Mit den im Abschnitt 3.6.3 vorgeführten Methoden könnteman hier also wieder alle Eigenwerte berechnen. Im Falle der unsymmetrischen Matrix59