Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-VerfahrenDie letzte Umformung gilt wiederum nach Lemma 3.43. Die Summe der Beträge derElemente jeder Zeile von N ist damitNach Satz von Geršgorin ist damit gezeigt:∥∥A DET L DE+ A∥ = 1 ∥2 42 + 12 d−2 · 2d−1 + (d − 1) · 2 = 2d + 2 .∥N 2∥ ∥2= 1 4 ‖2N‖ 2 = 1 2 ‖N‖ 2 = 1 2 ϱ (N) 1 2 ≤12√2d + 2 =√d + 12√dBemerkung 3.45. Man beachte, dass die experimentell ermittelte Schranke bei2√stattd+12aus letztem Satz liegt. Im Gegensatz zu den vorangegangenen Sätze erhält manhier also nur eine Abschätzung der Flussnorm. Dennoch ist hiermit bewiesen, dass dasVorwärts-und Rückwärts-Durchlaufen der Farben eine Verbesserung des Verfahrens bewirkt.Alle bisher angegebenen Schranken für Flüsse bezogen sich auf endliche Verfahrenund das Kantengewicht α = 1 2. Beim DE-FOS und dessen Abwandlungen hängt daslaufzeitoptimale α aber von der Größe des Graphen ab und liegt zwischen 1 2und 1,vergleiche Satz 3.11. Die in Abbildung 3.11 dargestellten Schranken für Gitter und Torider Größen 2 bzw. 4 bis 24 verdeutlichen, dass hierdurch höhere Flüsse entstehen als beiOPT und OPS.‖x(DE)‖ 2‖x min ‖ 28765432DE-FOS10 5 10 15 20k‖x(DEfb)‖ 2‖x min ‖ 232DE-FOSfb10 5 10 15 20k‖x(DEcc)‖ 2‖x min ‖ 232DE-FOScc10 5 10 15 20kAbbildung 3.11: Schranken für die Normen der Flüsse bei DE-FOS, DE-FOSfb und DE-FOScc für Gitter G k (gestrichelt) und Tori T k (durchgezogene Linie)verschiedener Größe mit laufzeitoptimiertem α3.9 Aufwand der VerfahrenZur Beurteilung, welches Verfahren bei einem gegebenem Graphen das schnellste ist,reicht es nicht aus, die Zahl m der verschiedenen Eigenwerte zu betrachten. Vielmehr82