Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

4.4 ADI-SOS und ADI-ČebyševDer folgende Satz garantiert, dass wzk,l = wsk,l ist für alle k und l. Im Vorgriff auf diesesResultat wurden in der obigen Formel auf der rechten Seite die Indizes z und s bereitsweggelassen.Satz 4.4. Für obige Lastvektoren gilt w k,lz= w k,ls =: w k,l für k, l ≥ 1.Beweis. Der Beweis wird per Induktion über k + l geführt.Induktionsanfang: k = l = 1:(w 1,0 = I ⊗ M (1)) w 0,0( )w 0,1 = M (1) ⊗ I w 0,0( ) ( ) (⇒ wz 1,1 = M (1) ⊗ I w 1,0 = M (1) ⊗ I I ⊗ M (1)) w 0,0(⇒ ws 1,1 = I ⊗ M (1)) (w 0,1 = I ⊗ M (1)) ( )M (1) ⊗ I w 0,0Wegen ( I ⊗ M (1)) ( M (1) ⊗ I ) = M (1) ⊗ M (1) = ( M (1) ⊗ I ) ( I ⊗ M (1)) gilt alsowz 1,1 = ws 1,1 .Induktionsschritt: Die Behauptung sei nun korrekt für alle k, l mit k + l ≤ c für einfestes c. Sei jetzt k + l = c + 1.1. Fall: k, l ≥ 2:w k,l−1 = w k,l−1sw k,l−2 = w k,l−2s⇒ w k,lz(= β I ⊗ M (1)) w k−1,l−1 + (1 − β) w k−2,l−1(= β I ⊗ M (1)) w k−1,l−2 + (1 − β) w k−2,l−2(= β 2 M (1) ⊗ M (1)) w k−1,k−1[( )+ β (1 − β) M (1) ⊗ I w k−2,l−1 ++ (1 − β) 2 w k−2,l−2(I ⊗ M (1)) w k−1,l−2]Wie man leicht nachrechnet, erhält man für wsk,l dasselbe Ergebnis.2. und 3. Fall: k = 1, l ≥ 2 bzw. k ≥ 2, l = 1: Ähnlich.Korollar 4.5. Die Vektoren w k,k konvergieren gegen die Gleichverteilung w.Beweis. Dem letzten Satz zufolge kommt es nicht darauf an, über welche Zwischenwertew i,j ein Vektor w k,k berechnet wird. Insbesondere kann man den folgenden ”Weg“wählen, der exakt dem Verfahren SDI-SOS entspricht: w 0,0 , w 0,1 , . . . , w 0,k , w 1,k , . . . , w k,k .Für genügend großes k wird in diesem Fall zuerst eine Gleichverteilung innerhalb allerKopien von G (1) in einer Richtung mit dem gewöhnlichen SOS-Verfahren hergestellt;danach wird SOS in der anderen Richtung angewandt, was zur globalen Gleichverteilungführt.97