Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

2.5 Stabilität und Sortierung der Eigenwerteetwas größeren Graphen können die Werte 10 16 übersteigen, selbst bei moderaten Anfangslastenunter 100. Bei Rechnung mit doppelter Genauigkeit liegt dann auch derabschließende Fehler e m−1 über 10 0 , d. h. das Resultat ist völlig unbrauchbar. Sortiertman die Eigenwerte in absteigender Reihenfolge, so nehmen die Fehlerwerte zuerst monotonab. Der abschließende Fehler ist jedoch in vielen Fällen nur knapp unterhalb 10 0 , beigrößeren Graphen lässt sich sogar ein starker Anstieg in den letzten Iterationsschrittenbeobachten.Zur Erzielung besserer Ergebnisse wird in [EFMP99] eine Sortierung ”von der Mittenach außen“ vorgeschlagen, die auf Young (1953) zurückgeht.Beispiel 2.22.• SortYoung ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11)) = (6, 5, 7, 4, 8, 3, 9, 2, 10, 1, 11),• SortYoung ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)) = (6, 7, 5, 8, 4, 9, 3, 10, 2, 11, 1, 12)Bei einigen (größeren) Graphen liefert aber auch diese Sortierung unbrauchbare Resultate.Eine Sortierung, die sich für fast alle praktisch relevanten Fälle als sehr gut erwiesenhat, beruht auf gewichteten Leja-Punkten [Rei91]. Diese Sortierung wurde zuerst in[EFMP99] mit OPT in Verbindung gebracht und in [Els02] bereits näher untersucht.Definition 2.23 (Leja-Punkte). Es sei {a 1 , . . . , a n } eine Menge reeller oder komplexerZahlen und ω : C → R + eine Gewichtsfunktion. Die Permutation π : {1, . . . , n} →{1, . . . , n} sei folgendermaßen definiert: Wähle π(1) so, dassund für j = 2, . . . , n wähle π(j) so, dassj−1∏∣ 1 − a ∣π(j) ∣∣∣ω ( )aa π(j) =π(l)l=1∣ ∣∣a π(1) = maxn|a i| ω (a i )i=1maxi∈{1,...,n}\{π(1),...,π(j−1)}l=1j−1∏∣ 1 −a ia π(l)∣ ∣∣∣ω (a i ) .Bemerkung 2.24. Speichert man in jedem Schritt die betrachteten Produkte zwischen,so beträgt der Aufwand zur Berechnung der Leja-Sortierung O ( n 2) verglichen mitO (n log n) bei einfachen Sortierungen.Reichel [Rei91] schlägt als Gewichtsfunktionen ω(z) = 1 und ω(z) = |z| vor. Späterwerden als Verallgemeinerung Funktionen ω(z) = |z| g betrachtet werden. Diese Sortierungenwerden im folgenden mit Leja (g) bezeichnet; die beiden Spezialfälle heißen alsoLeja (0) bzw. Leja (1) .Beispiel 2.25. Die folgenden Beispiele zeigen Leja-Sortierungen der Zahlen von 1 bis 12mit verschiedenen Gewichtsfunktionen.• Leja (0) ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)) = (12, 1, 6, 9, 3, 11, 2, 8, 4, 10, 5, 7)• Leja ( 1 2 ) ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)) = (12, 4, 8, 1, 11, 2, 6, 10, 3, 9, 5, 7)35