Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

4.5 ADI-OPSADI-ČebyševAlle Konstruktionen aus diesem Abschnitt lassen sich auf die ähnlich zu konstruierendenVerfahren ADI-Čebyšev und ADI-Čebyšev2 übertragen. Ein Analogon zu Satz 4.6 lässtsich allerdings nicht zeigen, da sich die Iterationsmatrizen hier in jedem Schritt ändern.Experimenten zufolge konvergieren aber auch diese beiden Verfahren etwa gleich schnellund es gelten dieselben Beobachtungen zu den Flüssen.4.5 ADI-OPSWill man eine OPS-Version für Produktgraphen erzeugen, so hat man prinzipiell dieselbenbeiden Möglichkeiten wie im letzten Abschnitt für SOS. Der erste Ansatz, OPS fürdie Matrix M (1) ⊗M (1) ist jedoch nicht sinnvoll, da diese in etwa genauso viele Eigenwertebesitzt, wie die Diffusionsmatrix des kompletten Produktgraphen. Dagegen lässt sichder für ADI-SOS2 verwendete Ansatz problemlos auf OPS übertragen, das resultierendeVerfahren wird mit ADI-OPS bezeichnet und ist in Algorithmus 4.8 dargestellt. Zur Bew11= w 0w01 = 1 γ 1(α1 I − I ⊗ M (1)) w11w10 = 1 γ 1(α1 I − M (1) ⊗ I ) w11w = 1 (γ α1 1I − M (1) ⊗ I ) w01for k = 2, . . . , m − 1 dow22 = w11w12 = w01w21 = w10w11 = ww02 = 1γ k((α k I − I ⊗ M) w12 − β k w22)w01 = 1γ k((α k I − I ⊗ M) w11 − β k w21)w10 = 1γ k((α k I − M ⊗ I) w11 − β k w12)w = 1γ k((α k I − M ⊗ I) w01 − β k w02)end forAlgorithmus 4.8: ADI-OPS-Verfahrenrechnung der für die Dreitermrekursion des OPS benötigten Koeffizienten α k , β k , γ k wirddas Innenprodukt (2.1) für Polynome verwendet (〈p, q〉 = ∑ mj=2 ω jp(µ Diffj )q(µ Diffj )). Dabeiwar ω j so gewählt, dass der Fehler nach jedem einzelnen Schritt möglichst klein wird.Darauf, dass das Verfahren nach m Schritten mit Fehler 0 endet, hat diese Wahl jedochkeinen Einfluss. Während beim OPS grundsätzlich minimale Flüsse berechnet werdenund eine Änderung des Produktes damit keinen Sinn macht, lässt sich beim ADI-OPSder Fluss dadurch verbessern, dass ω j durch Potenzen ω η jersetzt wird, also〈p, q〉 =m∑j=2ω η j p(µDiff j )q(µ Diffj ) .101