Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-Verfahrenŵ 0 = w 0ˆx 0 = 0for j = 1, . . . , c do {Schleife über die Farben}ŵ j = M j ŵ j−1ˆx j = ˆx j + αA T j ŵj−1end forw 1 = 1 [γ α1 1w 0 − ŵ c]x 1 = − 1 γ 1ˆx cfor k = 2, . . . , m − 1 doŵ 0 = w k−1ˆx 0 = x k−1for j = 1, . . . , c do {Schleife über die Farben}ŵ j = M j ŵ j−1ˆx j = ˆx j + αA T j ŵj−1end forw k = 1 [γ αk kw k−1 − ŵ c − β k w k−2]x k = 1 [γ αk kx k−1 − ˆx c − β k x k−2]end forAlgorithmus 3.7: DE-OPS-VerfahrenBeweis. Zu zeigen ist, dass p m−1 (µ DEi ) = 0 ist für i = 2, . . . , m. Denn mit der üblichenZerlegung der Anfangslast w 0 in Eigenvektoren z i von M DE erhält man dannm∑w m−1 = p m−1 (M DE )w 0 = p m−1 (M DE ) z i =i=1m∑p m−1 (µ i )z i = z 1 = w .i=1Zunächst werden die Polynome mit dem Faktor γ k skaliert, was auf folgende neue Rekursionführt.mitˆp 0 (t) = 1ˆp 1 (t) = (α 1 − t) ˆp 0 (t)ˆp k (t) = (α k − t) ˆp k−1 (t) − ˆβ k ˆp k−2 (t), k = 2, . . . , m − 1α k = 〈tˆp k−1, ˆp k−1 〉〈ˆp k−1 , ˆp k−1 〉 , k = 1, . . . , m − 1ˆβ k =β k= 〈ˆp k−1, ˆp k−1 〉γ k−1 〈ˆp k−2 , ˆp k−2 〉 , k = 2, . . . , m − 1 .Ersetze nun die Polynome ˆp k durch Vektoren f k ∈ R m−1 , f k = ( p k (µ DE2 ), . . . , p k(µ DEm ) ) T .Definiere außerdem M = diag(µ DE2 , . . . , µDE m ), Ω = I − M = diag(ω 2 , . . . , ω m ) und die48