Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-VerfahrenBeweis. Da beide Gleichungen ähnlich bewiesen werden, beschränkt sich der Beweis aufdie erste Gleichung. Die Matrix auf deren linker Seite werde mit I bezeichnet. Diesewerde entsprechend der folgenden Skizze in Gebiete zerlegt:0 121 00 121 0330 121 00 121 0Auf der Diagonalen (Gebiet 0) gilt:I rr =∑i−1k=112 k + 12 i−1 = 1 .Sei nun I rs ein Element aus Gebiet l ∈ {1, . . . , i − 1}. Für dieses Element folgt:I rs = − 1 i−12 l + ∑k=l+112 k + 12 i−1 = 0 .Satz 3.44. Beim Hypercube H d ist der von DE-XXXfb mit α = 1 2berechnete Fluss in√d+1der l 2 -Norm höchstens um den Faktor2höher als der minimale Fluss.Beweis. Der Beweis dieses Satzes erfolgt nach dem selben Schema wie beim letzten Satz.Insbesondere ist L DEfb = L DE = 2 ( I 2 d − 1 J2 d 2 d). Für die zu diesem Verfahren gehörendeMatrix A DEfb gilt:A DEfbi = 1 2 (M 1 · · · M i−1 A i + M d · · · M i+1 A i )(( )( )1 1= 0 I2 i 2 d−i ⊗ ⊗ J−1 2 i−1 + 11J2 d−i+1 2 d−i ⊗−1)⊗ I 2 i−1 0A DEfb =d∑i=1A DEfbi80