Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.8 Abschätzungen für FlüsseBerechne nun die Matrix N := A DEfbT A:⎧1I2 i−1 2 d−i ⊗ J 2 i−1 + 1 J2 d−i 2 d−i ⊗ I 2 i−1( )i = j⎪⎨ 11( )I2N ij =i 2 d−j ⊗ ⊗ I 2 j−i−1 ⊗ 1 −1 ⊗ J 2 i−1 i < j−1( )( )11⎪⎩ J2 d−i+1 2 d−i ⊗ 1 −1 ⊗ I 2 i−j−1 ⊗ ⊗ I 2 j−1 i > j−1Weiterhin lässt sich nachrechnen, dass N 2 = 2N ist. Im Gegensatz zum letzten Beweismuss man hier statt NN T die Matrix N := N T N berechnen. Es werden nun zunächstdie Diagonalblöcke dieser Matrix betrachtet.∑i−1N ii = Nki T N ki + Nii 2 +=k=1∑i−1k=1d∑k=i+1(11 −12 k I 2 d−k−1 ⊗ −1 1N T ki N ki)⊗ J 2 k−1+ 12 i−1 I 2 d−i ⊗ J 2 i−1 + 12 d−i J 2 d−i ⊗ I 2 i−1 + 12 d−2 J 2 d−1d∑( )11 −1+2 d−k+1 J 2 d−k ⊗ ⊗ I−1 1 2 k−2k=i+1= 2I 2 d−1 + 12 d−2 J 2 d−1Für die letzte Gleichheit ist Lemma 3.43 benutzt worden. Sei nun i > j:j−1∑N ij = Nki T N kj + NjiN T jj +k=1∑i−1k=j+1N T ki N kj + N T ii N ij += I 2 d−i ⊗ ( 1 −1 ) ( 1 ∑j−1⊗ I 2 i−j−1 ⊗ ⊗−1)+ 1 2 j I 2 d−i ⊗ ( 1 −1 ) ⊗ I 2 i−j−1 ⊗k=1( 1−1)⊗ J 2 j−1+ 0+ 12 d−i+1 J 2 d−i ⊗ ( 1 −1 ) ( ) 1⊗ I 2 i−j−1 ⊗ ⊗ I−1 2 j−1d∑( )11 −1+2 d−k+2 J 2 d−k ⊗ ⊗ I−1 1 2 k−i−1 ⊗ ( 1k=i+1= I 2 d−i ⊗ ( 1 −1 ) ⊗ I 2 i−j−1 ⊗( 1−1)⊗ I 2 j−1d∑k=i+1N T ki N kj(11 −12 k+1 I 2 j−k−1 ⊗ −1 1)⊗ J 2 k−1−1 ) ( 1⊗ I 2 i−j−1 ⊗ ⊗ I−1)2 j−181