Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-VerfahrenIn diesem Kapitel wird gezeigt, wie man aus den Diffusionsverfahren des letzten Kapitelssowie einigen vorhandenen Ansätzen zu Dimension-Exchange-Verfahren erster Ordnungneue Algorithmen konstruieren kann. Diese neuen Verfahren werden danach mit ihrenDiffusionsgegenstücken verglichen. Besondere Aufmerksamkeit wird dabei der Frage geschenkt,inwieweit man auch hier Eigenwerte mit einfachen Formeln berechnen kann undwie die Flüsse bei den neuen Verfahren aussehen.3.1 Motivation und Einfärbung von GraphenBei den Diffusionsverfahren wird davon ausgegangen, dass jeder Prozessor in einemSchritt mit allen benachbarten Prozessoren gleichzeitig kommuniziert, d. h. Diffusionsverfahrensind auf das All-Port-Modell spezialisiert. Bei den meisten Parallelrechnernist dies jedoch nicht möglich. Stattdessen muss ein Prozessor nacheinander mit seinenNachbarn kommunizieren (One-Port-Modell). Aus diesem Grund ist es sinnvoll, die einzelnenSchritte der Verfahren weiter aufzuteilen in Teilschritte, ein Teilschritt für jedenNachbarn. In jedem Teilschritt können dann die aktuellen Informationen aus dem jeweilsletzten Teilschritt verwendet werden.Dieses Vorgehen wurde von Cybenko in [Cyb89] zuerst für den Hypercube vorgeschlagen.Ein Teilschritt entspricht dann genau einer Richtung oder Dimension, er umfasstalso alle parallelen Kanten. Daher wird das Verfahren als Dimension Exchange bezeichnet.Es sei i ein Knoten eines Hypercubes H d und nachbar(i, l) der Nachbar von i inder Dimension l, (bei geeigneter Nummerierung der Knoten unterscheiden sich i undnachbar(i, l) genau im l-ten Bit). Damit ergibt sich das in Algorithmus 3.1 aus Sicht desKnotens i dargestellte Verfahren:for k = 1, 2, . . . dofor l = 1, . . . , d doend forend forw k−1+ l di= (1 − α) wl−1k−1+ di+ αwl−1k−1+ dnachbar(i,l)Algorithmus 3.1: Dimension Exchange für den Hypercube H d für Prozessor iIn [Cyb89] wird gezeigt, dass für α = 1 2 ein Schritt ausreicht, d. h. es ist w1 = w.39