Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

4 Verfahren für ProduktgraphenDas letzte Kapitel hat gezeigt, dass für einige Graphen wie Pfade und Zyklen zeitoptimale(oder annähernd optimale) Verfahren gefunden sind. Bei Gittern und Tori dagegenunterscheiden sich der Durchmesser des Graphen (O (n)) und die Laufzeit (O ( n 2) ) umeine ganze Größenordnung. In diesem Kapitel werden Verfahren vorgestellt werden, diedie spezielle Struktur der Graphen besser ausnutzen und die Laufzeiten damit tatsächlichin die Nähe des Durchmessers bringen. Als eine Schwierigkeit dabei wird sich dasProblem herausstellen, dass die Flüsse relativ groß werden können.Der Begriff des Produktgraphen, der hier wieder benötigt wird, ist bereits in Kapitel1.8 eingeführt worden.4.1 ADI-FOSDas einfachste, wenn auch nicht sehr effiziente Diffusionsverfahren ist das FOS aus Kapitel2.2. Hat man nun einen Produktgraphen G = G (1) × G (2) vorliegen, so kann manFOS abwechselnd auf den Kanten in Richtung von G (1) und G (2) ausführen. Dieses Verfahrenstammt aus [EFMP99] und wird mit ADI-FOS bezeichnet. ADI steht hierbei füralternating direction iteration.Es seien M Diff (1) = I − α (1) L Diff (1) und M Diff (2) = I − α (2) L Diff (2) die Diffusionsmatrizenvon G (1) bzw. G (2) . Ein Schritt von ADI-FOS hat für Knoten (i, j) die Form ausAlgorithmus 4.1.for all e = {(i, ( j), (l, j)} ∈ E)doye k−1 = α (1) w k−1(i,j) − wk−1 (l,j)end forw k− 1 2(i,j) = wk−1 (i,j) − ∑ e={(i,j),(l,j)}∈E yk−1 efor all e = {(i, ( j), (i, l)} ∈ E ) doye k−1 = α (2) w k− 1 2(i,j) − 1 wk− 2(i,l)end forw(i,j) k = 1 wk− 2(i,j) − ∑ e={(i,j),(i,l)}∈E yk−1 eAlgorithmus 4.1: Schritt k des ADI-FOS-Verfahrens für Prozessor iIn Matrixschreibweise ergibt sich der sehr kurze Algorithmus 4.2.89