Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.4 Ein erstes Dimension-Exchange-Verfahren: DE-FOSM DE verwendet, Algorithmus 3.3 enthält die einzelnen Teilschritte inklusive der Berechnungdes Flusses. Dieses Verfahren ist nicht neu, es wurde erstmalig in [HLM + 90] fürfor k = 1, 2, . . . dow k = M DE w k−1end forAlgorithmus 3.2: DE-FOS-Verfahren, Matrix-Versionx = 0for k = 1, 2, . . . doŵ 0 = w k−1for j = 1, . . . , c do {Farbschleife}ŵ j = M j ŵ j−1x = x + αA T j ŵj−1end forw k = ŵ cend forAlgorithmus 3.3: DE-FOS-Verfahren, Version mit der Schleife über die Farbenden Spezialfall α = 1 2beschrieben. Xu und Lau haben das Verfahren für beliebiges αunter dem Namen Generalized Dimension Exchange Method (GDE) in [XL92, XL95] beschriebenund näher untersucht. Aus Gründen der Systematik wird hier die BezeichnungDE-FOS verwendet. Das wichtigste Resultat aus [XL95] ist in folgendem Satz zusammengefasst.(Hier wie auch im Rest dieses Abschnittes wird eine konkrete Einfärbungder Graphen vorausgesetzt, die später erklärt wird.)Satz 3.11. Der optimale Wert für α beim DE-FOS-Verfahren, der den zweitgrößtenEigenwert γ(M DE ) minimiert, ist für den Pfad P k , den Zyklus C 2k sowie das Gitter G k,lund den Torus T 2k,2l mit k > lα opt =11 + sin ( )π.kDie symmetrische Variante, SDE-FOS erhält man, indem man die Matrix M SDE stattM DE verwendet. Wie in Algorithmus 3.4 ersichtlich ist, müssen die Farben pro Schrittzweimal durchlaufen werden, einmal vorwärts und einmal rückwärts. Zum SDE-FOS-Verfahren gibt es noch keine mit Satz 3.11 vergleichbaren theoretischen Ergebnisse. Experimentehaben jedoch folgendes gezeigt:Beobachtung 3.12. Das SDE-FOS-Verfahren konvergiert am schnellsten für α = 1 2 . Indiesem Fall unterscheidet sich das Konvergenzverhalten kaum von DE-FOS. Allerdingsbesteht ein Schritt des SDE-FOS aus doppelt so vielen Teilschritten wie bei DE-FOS.43