Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.8 Abschätzungen für Flüssemit( 11 = Φ24 n2 + 1 4 n − 1 6 , 1 24 n2 − 1 4 n − 1 6))P DEP SDE( l 2 − l − 1 2 ln + 124 n2 + 1 4 n − 1 6l 2 − 3l − 1 2 ln + 1Pl DE =24 n2 + 3 4 n + 11 ⊗ ( 1 1 ) l = 2, . . . , n62( 11 = Φ24 n2 + 1 4 n − 1 6 , 1 24 n2 − 1 4 n − 1 6)(P (1)l= l 2 − 2l − 1 2 ln + 1 24 n2 + 1 2 n + 5 )· J 2 l = 2, . . . , n 62Die Korrektheit der angegebenen Pseudoinversen lässt sich durch Nachrechnen der vierMoore-Penrose-Bedingungen (3.2)-(3.5) nachweisen; dabei istP (S)DE L (S)DE+ = L (S)DE+ P (S)DE = 1 Φ (n − 1, −1 . . . , −1) .nDamit erhält man schließlichundX DE = X SDE =X (S)DE X (S)DET =( I −2n J )0 I − 2 n J( I +2n J 0 )0 I − 2 n J .Die letzte Matrix hat nur die drei Eigenwerte 0, 1 und 2 und somit folgt das Ergebnis∥∥∥X (S)DE ∥∥2= √ 2 .Bemerkung 3.40. Der Faktor √ 2 aus dem letzten Satz wird in folgender Situation erreicht:w 0 = (4, 0, 4, 0, . . . , 4, 0), w = (2, 2, . . . , 2). Sortiert man die Einträge in denFlussvektoren nach Farben, so erhält man als minimalen Fluss∥x Diff ∥= (1, . . . , 1, −1, . . . , −1) , ∥x Diff ∥∥2= √ nund als Dimension-Exchange-Flussx DE = (2, . . . , 2, 0, . . . , 0) ,∥∥x DE ∥ ∥∥2=√ n2 · 4 = √ 2 · √n .Der Nachweis, dass die Flüsse auf dem Zyklus durch Flussreduktion sogar minimalwerden, ist dank Satz 3.38 sehr einfach.Satz 3.41. Bei Zyklen C n gerader Länge n ist der von DE-XXXfb und DE-XXXcc mitbeliebigem α berechnete Fluss in der l 2 -Norm minimal.77