Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

2 Diffusionsverfahren• Leja (1) ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)) = (12, 6, 3, 10, 1, 8, 11, 2, 5, 9, 4, 7)• Leja (10) ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)) = (12, 11, 9, 10, 7, 8, 5, 6, 4, 3, 2, 1)Bei größeren Exponenten dominiert die Gewichtsfunktion und die Sortierung wird irgendwannzur absteigenden Sortierung.Wie sich die verschiedenen Sortierungen auf die numerische Stabilität auswirken, istanhand zweier beispielhafter Graphen in Abbildung 2.3 dargestellt. Dort sind aufsteigende,absteigende Sortierung sowie Young- und Leja-Sortierung gegenübergestellt. Mit derLeja-Sortierung werden eindeutig die besten Ergebnisse erzielt; dabei steigt der Fehlerbei Leja (0) im Gegensatz zu Leja (1) anfangs zwar an, der abschließende Fehler ist aber inden Beispielen wie in der Regel mit Leja (0) etwas geringer.Nachdem gezeigt wurde, dass das OPT-Verfahren mit der Leja-Sortierung die bestenResultate liefert, soll dieses nun mit dem (bei exakter Rechnung äquivalenten) OPS-Verfahren verglichen werden. Wie aus Abbildung 2.4 ersichtlich ist, liefern die beidenVerfahren für praktisch relevante Graphen in etwa gleich gute Ergebnisse. Lediglich beiextrem großen Graphen wie dem 24 × 24-Gitter zeigt sich die Überlegenheit von OPS.Neben solchen besonders strukturierten Graphen werden in Abbildung 2.4 auch zweiZufallsgraphen betrachtet. Die Diagramme zeigen, dass bei ”dünnen“ Zufallsgraphen,insbesondere bei Zufallsbäumen, alle bisher betrachteten Verfahren numerische Problemehaben.2.6 FlüsseIn den bisher besprochenen Algorithmen ist neben der Gleichverteilung der Last jeweilsauch schon der dazugehörende ausgleichende Fluss mit bestimmt worden. In [DFM99]und [HB99] ist nachgewiesen worden, dass diese Flüsse in der l 2 -Norm minimal sind.Man könnte sich nun fragen, ob ein l 1 - oder l ∞ -minimaler Fluss nicht ”besser“ wäre.Ein l 1 -minimaler Fluss bewirkt, dass die Last entlang kürzester Wege verschoben wird,l ∞ -Minimalität bedeutet, dass der maximale Fluss über jede einzelne Kante möglichstklein ist. Die l 2 -Minimalität stellt einen guten Kompromiss zwischen diesen Alternativendar und kostet keinerlei zusätzliche Rechenzeit. Vergleiche hierzu auch Abbildung 2.2.04 414 424 40 0112 28 04l 1 -minimal8 03l 2 -minimal8 02l ∞ -minimalAbbildung 2.2: l 1 -, l 2 - und l ∞ -minimaler Fluss am Beispiel des Zyklus C 436