Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.7 Flussminimierungdie l 2 -Normen der Flüsse monoton mit α wachsen. Wie folgendes Lemma zeigt, ergebensich zumindest für α nahe Null annähernd l 2 -minimale Flüsse.Lemma 3.22. Lässt man bei Dimension-Exchange-Verfahren den Wert α gegen Nulllaufen, dann konvergieren die von den Verfahren berechneten Flüsse gegen den l 2 -minimalenFluss.Beweis. Wegen der Äquivalenz von OPS und OPT (siehe Bemerkung 2.19) wird nur letzteresVerfahren betrachtet. Der berechnete Fluss hängt bei diesem endlichen Verfahrenstetig von α ab. Für die Matrix L DE gilt:L DE = 1 (I − M DE)α= 1 α (I − M c · · · M 1 )= 1 α (I − (I − αL c) · · · (I − αL 1 ))= 1 (α (Lc + . . . + L 1 ) + α 2 (. . .) )αα→0−→ L c + . . . + L 1 = L DiffBis auf Terme höherer Ordnung stimmt L DE also mit L Diff überein. Analog erhält manL SDE ≈ 2L, wobei sich der Faktor 2 bei der Division durch die Eigenwerte in den Verfahrenherauskürzt. Für α nahe 0 stimmen also beide Dimension-Exchange-Varianten mitdem Diffusionsverfahren (nahezu) überein. Von letzterem ist aber bereits bekannt, dasses minimale Flüsse erzeugt.Bemerkung 3.23. Der letzte Beweis zeigt, dass für α nahe 0 bei den Dimension-Exchange-Varianten aus Stetigkeitsgründen nicht weniger Eigenwerte auftreten können als beimDiffusionsverfahren.Wie der letzte Abschnitt über die Eigenwerte gezeigt hat, sind die Dimension-Exchange-Verfahrenaber nicht für solch kleine α-Werte sondern nur für α = 1 2 besondersschnell. Es wäre daher wünschenswert, Abschätzungen dafür zu erhalten, um wie vieldie Flüsse für α = 1 2 über dem Minimum liegen.Abbildung 3.7 zeigt am Beispiel des Torus T 8 , wie die Flusswerte sich mit α ∈ (0, 1)ändern. Während die Normen bei beiden Varianten für α = 1 2nahezu identisch sind,sind für α → 1 große Unterschiede zu beobachten. Während die Werte beim SDE-OPXbeschränkt bleiben, gehen sie beim DE-OPX gegen Unendlich. Wie man solche Flussnormenberechnen kann, ist Thema des nächsten Abschnitts 3.8. Hier werden zunächstTechniken vorgestellt, mit denen die Norm der Flüsse gesenkt oder in bestimmten Fällensogar minimiert werden kann. Deren Korrektheit wird durch folgenden (unmittelbareinsichtigen) Satz sichergestellt.Satz 3.24. Sei G = (V, E) ein ungerichteter zusammenhängender Graph mit InzidenzmatrixA; w 0 und w seien wie gehabt. Es mögen verschiedene ausgleichende Flüssex 1 , . . . , x r existieren, d. h. Ax i = w 0 − w, i = 1, . . . , r. Ferner seien δ 1 , . . . , δ r ∈ R∑mitri=1 δ i = 1. Dann ist auch x = ∑ ri=1 δ ix i ein ausgleichender Fluss, also Ax = w 0 − w.65