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Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

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3.7 Flussminimierungdie l 2 -Normen der Flüsse monoton <strong>mit</strong> α wachsen. Wie folgendes Lemma zeigt, ergebensich zumindest für α nahe Null annähernd l 2 -minimale Flüsse.Lemma 3.22. Lässt man bei <strong>Dimension</strong>-Exchange-Verfahren den Wert α gegen Nulll<strong>auf</strong>en, dann konvergieren die von den Verfahren berechneten Flüsse gegen den l 2 -minimalenFluss.Beweis. Wegen der Äquivalenz von OPS und OPT (siehe Bemerkung 2.19) wird nur letzteresVerfahren betrachtet. Der berechnete Fluss hängt bei diesem endlichen Verfahrenstetig von α ab. Für die Matrix L DE gilt:L DE = 1 (I − M DE)α= 1 α (I − M c · · · M 1 )= 1 α (I − (I − αL c) · · · (I − αL 1 ))= 1 (α (Lc + . . . + L 1 ) + α 2 (. . .) )αα→0−→ L c + . . . + L 1 = L DiffBis <strong>auf</strong> Terme höherer Ordnung stimmt L DE also <strong>mit</strong> L Diff überein. Analog erhält manL SDE ≈ 2L, wobei sich der Faktor 2 bei der Division durch die Eigenwerte in den Verfahrenherauskürzt. Für α nahe 0 stimmen also beide <strong>Dimension</strong>-Exchange-Varianten <strong>mit</strong>dem Diffusionsverfahren (nahezu) überein. Von letzterem ist aber bereits bekannt, dasses minimale Flüsse erzeugt.Bemerkung 3.23. Der letzte Beweis zeigt, dass für α nahe 0 bei den <strong>Dimension</strong>-Exchange-Varianten aus Stetigkeitsgründen nicht weniger Eigenwerte <strong>auf</strong>treten können als beimDiffusionsverfahren.Wie der letzte Abschnitt über die Eigenwerte gezeigt hat, sind die <strong>Dimension</strong>-Exchange-Verfahrenaber nicht für solch kleine α-Werte sondern nur für α = 1 2 besondersschnell. Es wäre daher wünschenswert, Abschätzungen dafür zu erhalten, um wie vieldie Flüsse für α = 1 2 über dem Minimum liegen.Abbildung 3.7 zeigt am Beispiel des Torus T 8 , wie die Flusswerte sich <strong>mit</strong> α ∈ (0, 1)ändern. Während die Normen bei beiden Varianten für α = 1 2nahezu identisch sind,sind für α → 1 große Unterschiede zu beobachten. Während die Werte beim SDE-OPXbeschränkt bleiben, gehen sie beim DE-OPX gegen Unendlich. Wie man solche Flussnormenberechnen kann, ist Thema des nächsten Abschnitts 3.8. Hier werden zunächstTechniken vorgestellt, <strong>mit</strong> denen die Norm der Flüsse gesenkt oder in bestimmten Fällensogar minimiert werden kann. Deren Korrektheit wird durch folgenden (un<strong>mit</strong>telbareinsichtigen) Satz sichergestellt.Satz 3.24. Sei G = (V, E) ein ungerichteter zusammenhängender Graph <strong>mit</strong> InzidenzmatrixA; w 0 und w seien wie gehabt. Es mögen verschiedene ausgleichende Flüssex 1 , . . . , x r existieren, d. h. Ax i = w 0 − w, i = 1, . . . , r. Ferner seien δ 1 , . . . , δ r ∈ R∑<strong>mit</strong>ri=1 δ i = 1. Dann ist auch x = ∑ ri=1 δ ix i ein ausgleichender Fluss, also Ax = w 0 − w.65

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