Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

4 Verfahren für Produktgraphenfor k = 1, 2, . . . dow k = M Diff (2) ⊗ M Diff (1) w k−1end forAlgorithmus 4.2: ADI-FOS-Verfahren in MatrixnotationIn [EFMP99] wird gezeigt, dass im Falle G (1) = G (2) ADI-FOS nur halb so vieleIterationen wie FOS benötigt, um die selbe Fehlerschranke zu erreichen. Die Anzahl derbenötigten Iterationen und die Höhe des Flusses hängen beide vom Parameter α ab.Minimale Flüsse ergeben sich, wenn man α gegen Null laufen lässt, wobei die Anzahl derIteratiosschritte sehr groß werden kann. Wählt man α so, dass die Laufzeit minimiertwird, können sich andererseits recht hohe Flüsse ergeben.Das ADI-FOS kann man auch auffassen als eine Kombination von Diffusions- undDimension-Exchange-Verfahren, also von FOS und DE-FOS [EMP00]. Zur Vereinfachungsei M Diff (2) = M Diff (1) . Dann ist M Diff (1) = I − αL Diff (1) , L Diff (1) = A (1) A (1)T und()M ADI = M Diff (1) ⊗ M Diff (1) = M Diff (1) Diff (1))⊗ I(I ⊗ M=(I − αL Diff (1) ⊗ I) (I − αI ⊗ L Diff (1)) .Färbe die Kanten nun so mit 2 Farben, dass alle Kanten einer Richtung dieselbe Farbebesitzen. (Dies ist keine Einfärbung im bisherigen Sinne!) Bezeichnet man die beidenInzidenzmatrizen der Teilgraphen einer Farbe mit A 1 bzw. A 2 , so ist A 1 = ( I ⊗ A (1) | 0 )und A 2 = ( 0 | A (1) ⊗ I ) . Mit L 1 = A 1 A T 1M i = I − αL i erhält man schließlichM Diff/DE = M 2 M 1 =(I − αL Diff (1) ⊗ I= I ⊗ LDiff (1) und L 2 = L Diff (1) ⊗ I sowie) (I − αI ⊗ L Diff (1)) = M ADI .Diese Gleichheit kann man nun ausnutzen, um mit Hilfe von Satz 3.35 eine Formel fürden Fluss des Verfahrens zu bestimmen.Korollar 4.1. Von ADI-Verfahren wird bei Anfangslast w 0 folgender Fluss x berechnet:x = A ADIT L ADI+ w 0mit M ADI = I − L ADI , L ADI = AA ADIT und A ADI = A 1 + M 1 A 2 .MDI-FOSZur Verkleinerung der Flüsse wird in [EFMP99] als Variante des Verfahrens MDI-FOS(mixed direction iteration) eingeführt. Hierbei bleiben alle Schritte mit ungeradem kunverändert, in den anderen wird mit den Kanten der zweiten Richtung begonnen unddie anderen werden danach benutzt. Formal verwendet man im Wechsel die MatrizenM Diff (2) ⊗M Diff (1) und M Diff (1) ⊗M Diff (2) . Diese Variante kann man Auffassen als Mischformvon Diffusion und symmetrischem Dimension-Exchange (SDE-FOS). Aus Satz 3.35ergibt sich hiermit das folgende Korollar.90