Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

2 DiffusionsverfahrenDie zugehörige Fehlerabschätzung lautet∥∥e k ∥ ∥∥2≤ 2 (β opt − 1) k 21 + (β opt − 1) k ∥ ∥e 0 ∥ ∥2.Das Čebyšev-Verfahren ist also geringfügig besser als SOS.2.3 Endliche Diffusionsverfahren: OPS und OPTBei den bisher vorgestellten Verfahren handelt es sich um nicht-endliche Iterationsverfahren,die mehr oder weniger schnell gegen die Gleichverteilung w konvergieren. In[DFM98, DFM99] wurde ein neues Verfahren vorgestellt, das, ähnlich dem cg-Verfahrenzur Lösung linearer Gleichungssysteme, in endlich vielen Schritten die exakte Lösungbestimmt. Dieses Verfahren wird als Optimal Polynomial Scheme (OPS) bezeichnet.Das Verfahren basiert darauf, dass Polynome p OPSkaus der Menge Π k berechnet werden,die bezüglich des folgenden Innenproduktes orthogonal sind:〈p, q〉 =m∑j=2ω j p(µ Diffj )q(µ Diffj ) (2.1)mit ω j = 1 − µ Diffj . Solche Orthogonalpolynome lassen sich mit Hilfe einer Dreitermrekursion〈berechnen. Das (m − 1)-te Polynom ist zu sich selbst orthogonal, d. h. es istpOPSm−1 , 〉 pOPS m−1 = 0 und somit gilt pOPSm−1 (µDiff i ) = 0 für i = 2, . . . , m.Um das Verfahren durchführen zu können, müssen zunächst alle Eigenwerte µ Diffi derDiffusionsmatrix M Diff bekannt sein. Außerdem müssen vorab Parameter α i , β i und γ iberechnet werden. Für k = 0, . . . , m − 1 sind die Polynome p OPSkgegeben durchp OPS0 (t) = 1p OPS1 (t) = 1 γ 1[(α 1 − t) p OPS0 (t)]p OPSk (t) = 1 [](α k − t) p OPSk−1γ (t) − β kp OPSk−2 (t) , k = 2, . . . , m − 1kmit〈tpOPSk−1α k =, 〉pOPS k−1〈pOPSk−1 , 〉 , k = 1, . . . , m − 1 (2.2)pOPS k−1〈pOPSk−1β k = γ , 〉pOPS k−1k−1 〉, k = 2, . . . , m − 1 (2.3)〈pOPSk−2 , pOPS k−2γ 1 = α 1 − 1, γ k = α k − 1 − β k , k = 2, . . . , m − 1 . (2.4)Sind diese Größen einmal berechnet, dann kann das eigentliche in Algorithmus 2.4dargestellte OPS-Verfahren durchgeführt werden.30