Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...
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3.6 Eigenwerte gefärbter GraphenÄhnlich wie beim Zyklus oben gilt für M SDEM SDE = M 1 M 2 M 2 M 1 = 1 ( ) 1 12 M ⊗ 1 1so dass M SDE und M DE wieder dieselben Eigenwerte besitzen.n ungeradeDas Vorgehen für ungerades n entspricht exakt dem für gerades n <strong>mit</strong> der Einschränkung,dass man hier keine bekannte Matrix erhält. Für die Matrix L 1 aus der Cholesky-Zerlegung erhält man⎛⎞l 0l 0 ... L 1 =⎜ l 0⎟⎝ l 0 ⎠1√<strong>mit</strong> l = 22, und hier<strong>mit</strong>⎛L T 1 M 2 L 1 =⎜⎝341401412140 ...0Behauptung 3.21. Obige Matrix hat die Eigenwerte12 + 1 ( ) 2π2 cos n j , j = 0, . . . , n − 12und 0.14Beweis. Offensichtlich ist 0 ein n−12-facher Eigenwert. Durch Streichen der Nullzeilenund -spalten entsteht folgende Matrix der <strong>Dimension</strong> p = n+12 :⎛⎞⎜⎝3414141214 . ..141214141√2241214√24120,⎟⎠1412√240,√2412⎞.⎟⎠57
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