Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.6 Eigenwerte gefärbter GraphenNachdem die Eigenwerte der Matrix M DE nun bekannt sind, soll als nächstes dieMatrix M SDE = ( M DE) T M DE näher untersucht werden. Als Produkt blockzirkulanterMatrizen ist M SDE selbst wieder blockzirkulant, nämlich:( )M SDE = Φ A 1 , . . . , A n2mit( ) ( )A BD EA 1 = , AB A 2 =C D, A 3 = . . . = A n2 −1 = 0 , A nHierbei sind wie oben A = (1 − α) 2 , B = α (1 − α), C = α 2 und(A = A 2 + 2B 2 + C 2 = 4 α 2 − α + 1 ) 22B = 2AB + 2BC = 2α (1 − α) 3 + 2α 3 (1 − α)C = 2AB = 2α (1 − α) 3D = AC + B 2 = 2α 2 (1 − α) 2E = 2BC = 2α 3 (1 − α) .( ) D C= .2 E DÄhnlich wie für M DE oben muss man auch hier Matrizen A (j) berechnen. Deren charakteristischesPolynom ist(χ (j) (t) = t 2 − 2 A + 2Dc (j)) t + Fmit F = A 2 − B 2 − (C − E) 2 = 16 ( α − 1 2) 4. Damit erhält man die Eigenwerte√t (j)1,2 = A + 2Dc(j) ± I + Jc (j) + K ( c (j)) 2mit(I = A 2 − F = 16α 2 (1 − α) 2 α 4 − 2α 3 + 3α 2 − 2α + 1 )2(J = 4AD = −32α 2 (1 − α) 2 α 2 − α + 1 )2K = 4D 2 = 4α 4 (1 − α) 4 .Hieraus ergibt sich, dass M SDE für alle Werte von α dieselbe Anzahl verschiedener Eigenwertehat wie M DE .Ist speziell α = 1 2, so vereinfachen sich diese Formeln erheblich. Statt mit obigenFormeln kann man die Eigenwerte in diesem Fall jedoch auch anders herleiten. Es istnämlich M SDE = 1 2 M ⊗ ( 1 1 11 ), wobei M wieder die Diffusionsmatrix des Zyklus C n zu2α = 1 4 ist. M DE und M SDE haben also für α = 1 2 dieselben Eigenwerte. 55