Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.8 Abschätzungen für Flüssezeigt.αL DE = I − M DE= I − M c · · · M 1= I − ( I − αA c A T )c Mc−1 · · · M 1= I − M c−1 · · · M 1 + αA c A T c M c−1 · · · M 1.= I − M 1 + αA 2 A T 2 M 1 + · · · + αA c A T c M c−1 · · · M 1= αA 1 A T 1 + · · · + αA c A T c M c−1 · · · M 1c∑= α A j A T j M j−1 · · · M 1j=1⎛ ⎞ ⎛⎞c∑c∑= α ⎝ A j⎠ ⎝ A T j M j−1 · · · M 1⎠ da A k A T l = 0 für k ≠ l nach Lemma 3.6= αAA DETj=1 j=1Mit Hilfe der Matrizen aus Definition 3.30 lässt sich nun ein erstes Resultat für dieFlüsse bestimmter Verfahren herleiten.Satz 3.33. Es sei ALG ∈ {Diff, DE, SDE, DEcc, DEfb} eine der Verfahrensklassen beimLoadbalancing. Betrachtet werden Verfahren der Formw k = p k (M ALG )w 0wobei p k ein Polynom vom Grad k ist mit p k (1) = 1, so dasslim p k(µ ALGi ) = 0 für i = 2, . . . , m . (3.6)k→∞Schreibe∑die Anfangslastverteilung w 0 als Summe von Eigenvektoren von L ALG , also w 0 =mi=1 z i mit L ALG z i = λ ALGi z i und λ ALG1 = 0. Dann berechnet das Verfahren den folgendenausgleichenden Fluss:∑mx ALG = A ALGT 1i=2λ ALGiBemerkung 3.34. Bedingung (3.6) ist für alle betrachteten Verfahren erfüllt. Insbesonderegilt für die OPS-Varianten p k−1 (µ ALGi ) = 0 und nach Gleichung (2.5) ist auch OPTvon obiger polynomialer Form. Für das unsymmetrische Dimension-Exchange (DE) unddessen Varianten muss wieder die Diagonalisierbarkeit von L DE vorausgesetzt werden.z i71