2 Diffusionsverfahren• Leja (1) ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)) = (12, 6, 3, 10, 1, 8, 11, 2, 5, 9, 4, 7)• Leja (10) ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)) = (12, 11, 9, 10, 7, 8, 5, 6, 4, 3, 2, 1)Bei größeren Exponenten dominiert die Gewichtsfunktion und die Sortierung wird irgendwannzur absteigenden Sortierung.Wie sich die verschiedenen Sortierungen <strong>auf</strong> die numerische Stabilität auswirken, istanhand zweier beispielhafter Graphen in Abbildung 2.3 dargestellt. Dort sind <strong>auf</strong>steigende,absteigende Sortierung sowie Young- und Leja-Sortierung gegenübergestellt. Mit derLeja-Sortierung werden eindeutig die besten Ergebnisse erzielt; dabei steigt der Fehlerbei Leja (0) im Gegensatz zu Leja (1) anfangs zwar an, der abschließende Fehler ist aber inden Beispielen wie in der Regel <strong>mit</strong> Leja (0) etwas geringer.Nachdem gezeigt wurde, dass das OPT-Verfahren <strong>mit</strong> der Leja-Sortierung die bestenResultate liefert, soll dieses nun <strong>mit</strong> dem (bei exakter Rechnung äquivalenten) OPS-Verfahren verglichen werden. Wie aus Abbildung 2.4 ersichtlich ist, liefern die beidenVerfahren für praktisch relevante Graphen in etwa gleich gute Ergebnisse. Lediglich beiextrem großen Graphen wie dem 24 × 24-Gitter zeigt sich die Überlegenheit von OPS.Neben solchen besonders strukturierten Graphen werden in Abbildung 2.4 auch zweiZufallsgraphen betrachtet. Die Diagramme zeigen, dass bei ”dünnen“ Zufallsgraphen,insbesondere bei Zufallsbäumen, alle bisher betrachteten Verfahren numerische Problemehaben.2.6 FlüsseIn den bisher besprochenen Algorithmen ist neben der Gleichverteilung der Last jeweilsauch schon der dazugehörende ausgleichende Fluss <strong>mit</strong> bestimmt worden. In [DFM99]und [HB99] ist nachgewiesen worden, dass diese Flüsse in der l 2 -Norm minimal sind.Man könnte sich nun fragen, ob ein l 1 - oder l ∞ -minimaler Fluss nicht ”besser“ wäre.Ein l 1 -minimaler Fluss bewirkt, dass die Last entlang kürzester Wege verschoben wird,l ∞ -Minimalität bedeutet, dass der maximale Fluss über jede einzelne Kante möglichstklein ist. Die l 2 -Minimalität stellt einen guten Kompromiss zwischen diesen Alternativendar und kostet keinerlei zusätzliche Rechenzeit. Vergleiche hierzu auch Abbildung 2.2.04 414 424 40 0112 28 04l 1 -minimal8 03l 2 -minimal8 02l ∞ -minimalAbbildung 2.2: l 1 -, l 2 - und l ∞ -minimaler Fluss am Beispiel des Zyklus C 436
2.6 FlüsseP 32, <strong>auf</strong>steigend10 1610 1410 1210 1010 810 610 410 210 010 −20 5 10 15 20 25 30 3510 310 210 110 00 5 10 15 20 25 30 3510 −1P 32, absteigendP 32, Young10 410 210 010 −210 −410 −610 −80 5 10 15 20 25 30 35P 32, Leja (0)10 410 210 010 −210 −410 −610 −810 −1010 −1210 −140 5 10 15 20 25 30 35P 32, Leja (1)G 12, <strong>auf</strong>steigend10 2010 1510 1010 510 00 10 20 30 40 50 60 70G 12, absteigend10 710 610 510 410 310 210 110 010 −10 10 20 30 40 50 60 70G 12, Young10 810 610 410 210 010 −210 −410 −60 10 20 30 40 50 60 70G 12, Leja (0)10 410 210 010 −210 −410 −610 −80 10 20 30 40 50 60 70G 12, Leja (1)10 210 010 −210 −410 −610 −810 −1010 −120 5 10 15 20 25 30 3510 2 0 10 20 30 40 50 60 7010 010 −210 −410 −610 −8Abbildung 2.3: Numerische Stabilität bei verschiedenen Sortierungen der Eigenwerte amBeispiel des Pfades P 32 und des Gitters G 12 ; dargestellt ist der Fehlernach jedem Schritt des Verfahrens37