Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.10 Stabilität der Dimension-Exchange-Verfahren3.9.1 Eine Verbesserung bei Diffusionsverfahren: FB-OPTZerlegt man bei Diffusionsverfahren die kompletten Schritte in Teilschritte, so lässt sichausnutzen, dass die Reihenfolge der Teilschritte hier völlig beliebig ist. Setzt man voraus,dass überhaupt eine Einfärbung für den Graphen bestimmt ist, dann kann man dieFarben, ähnlich wie beim SDE-OPT, abwechselnd vorwärts und rückwärts durchlaufen.Auf diese Weise lassen sich wiederum aufeinander folgende Kommunikationsoperationenüber Kanten der selben Farbe zu einer Kommunikation zusammenfassen. Diese effizienzsteigerndeAbwandlung wird im folgenden mit FB-OPT usw. bezeichnet.3.9.2 Zusammenfassender VergleichIn Tabelle 3.4 werden die Laufzeiten der Diffusions- und Dimension-Exchange-Verfahrenverglichen. Hierbei wird davon ausgegangen, dass der verwendete Parallelrechner nurOne-Port-Kommunikation zulässt. Die einzelnen Schritte der Diffusionsverfahren müssendann ebenfalls in Teilschritte zerlegt werden, wobei hierfür stets die Einfärbung verwendetwird, die auf die geringste Laufzeit führt. Bei den Dimension-Exchange-Verfahrenwird jeweils nur der Fall α = 1 2betrachtet. Die Tabelle zeigt, dass DE-OPX und auchDE-OPXcc für viele, wenn auch nicht alle Graphen, schneller sind als OPX. Mit derneuen Diffusionsart FB-OPX erreicht man zumindest bei den eindimensionalen Graphenvergleichbar gute Ergebnisse. Der folgende Satz gibt eine untere Schranke für die Anzahlder Schritte.Satz 3.46. Die Anzahl der Kommunikationsschritte bei One-Port-Kommunikation einesbeliebigen Loadbalancing-Verfahrens auf einem Graphen G ist im Worst Case mindestensso groß wie der Durchmesser diam(G) des Graphen.Beweis. Es seien k und l zwei Knoten des Graphen mit Abstand diam(G). Betrachte denFall, dass anfänglich die gesamte Last ausschließlich auf Knoten k vorliegt. Dann sindmindestens diam(G) Kommunikationsschritte nötig, bis sich der Lastwert des Knotens lzum ersten Mal ändert.Im Sinne obigen Satzes sind die DE-OPX-Verfahren (ggf. bis auf eine konstante Zahlvon ein oder zwei Kommunikationsschritten) optimal für den Pfad, den Ring geraderLänge und den Hypercube.3.10 Stabilität der Dimension-Exchange-VerfahrenDie Dimension-Exchange-Verfahren sind den Diffusionsverfahren nicht nur im Hinblickauf die Laufzeiten überlegen sondern auch bezüglich der numerischen Stabilität. Die Beobachtungenzum Einfluss der Reihenfolge der Eigenwerte beim OPT in Abschnitt 2.5übertragen sich direkt auf die DE- und SDE-Varianten. Kleine Fehler am Ende der Rechnungergeben sich nur unter Verwendung der Leja-Sortierungen. Komplexe Eigenwertewerden hierbei bezüglich ihrer Beträge sortiert. Wählt man α nahe 0, dann sindDiffusions- und Dimension-Exchange-Verfahren nahezu identisch, vgl. Lemma 3.22. Entsprechendunterscheiden sich die Diagramme zur Konvergenz auch nicht wesentlich. So85