Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-Verfahren1 2 3 4 51 2 3 4 56(1)(2)Abbildung 3.3: Einfärbung des Pfades P n für gerades und ungerades n3.6.4 Pfad P nAls nächster Graph soll der Pfad P n untersucht werden. Dieser kann wie in Abbildung 3.3gezeigt immer mit zwei Farben eingefärbt werden.Im allgemeinen Fall α ≠ 1 2konnten bislang keine Formeln für die Eigenwerte gefundenwerden. Experimente zeigen, dass es immer n paarweise verschiedene Eigenwerte gibt.Wählt man α = 1 2, so lassen sich auch für den Pfad Formeln herleiten. Begonnen wirdmit dem Fall, dass n gerade ist.n geradeBeim Pfad geradzahliger Länge ist für α = 1 2⎛ 1 1⎞ ⎛2 211 12 21 12 2M 1 =1 12 2 . , M 2 =.. ⎜⎟ ⎜⎝1 ⎠ ⎝Bestimme nun die Cholesky-Zerlegung M 1 = L 1 L T 1 :⎛⎞1 0L 1 = √ 11 0 ... 2⎜⎟⎝ 1 0⎠ ,1 0Dann ist M DE ähnlich zu L T 1 M 2L 1 = M ⊗ ( 1 0 00), wobei⎛⎞2121212M =⎜⎝3414141214 . ..1412141434⎟⎠12121212 . ..1die Diffusionsmatrix des Pfades der Länge n 2zu α = 1 4ist. Die gesuchten Eigenwertesind daher 0 sowie (vgl. Tabelle 2.1)1 − 1 ( ( )) π2 − 2 cosn j = 1 422 + 1 ( ) 2π2 cos n j , j = 0, . . . , n 2 − 1 .21212121⎞.⎟⎠56