Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3.8 Abschätzungen für FlüsseNach [Iji65, Theorem 1] gilt für Adjazenzmatrizen A ∈ R n×N , die zu zusammenhängendenGraphen gehören, AA + = I − 1 nJ. Dabei ist J die Matrix, deren Einträge allegleich 1 sind. Auf ähnliche Weise wie dieses Resultat lässt sich folgendes zeigen.Satz 3.28. Es sei L ALG die Laplace-Matrix des Diffusionsverfahrens oder eines der entsprechendenGegenstücke eines Dimension-Exchange-Verfahrens. Dann gilt:L ALG L ALG+ = I − 1 n JundL ALG+ L ALG = I − 1 n JDabei ist J die Matrix, die überall Einsen enthält.Beweis. Nach Definition der Pseudoinversen ist L ALG L ALG+ L ALG = L ALG und damit(I − L ALG L ALG+) L ALG = 0 .Für e = (1, . . . , 1) T ∈ R n gilt e T L ALG = e T AA ALGT = 0. Da L ALG Rang n − 1 hat,müssen folglich alle Zeilen von I − L ALG L ALG+ Vielfache von e T sein. Da L ALG L ALG+nach der Moore-Penrose-Bedingung (3.4) außerdem symmetrisch ist, ist I − L ALG L ALG+ein Vielfaches von J. Wegen(I − L ALG L ALG+) 2= I − 2L ALG L ALG+ + L} ALG L ALG+ {{ L ALG} L ALG+ = I − L ALG L ALG+L ALGfolgt schließlich die erste Behauptung. Die zweite Gleichheit zeigt man völlig analog.Folgendes Lemma stammt ebenfalls aus [Iji65].Lemma 3.29. Es seien A ∈ R m×n und x ∈ R n . Dann ist Ax = 0 genau dann, wennx T A + = 0.In Analogie zur Matrix A Diff = A bei den Diffusionsverfahren werden nun ähnlicheMatrizen für die übrigen Verfahren benötigt.Definition 3.30. Gegeben sei ein gefärbter Graph G, M i und A i seien wie bisher dieDiffusionsmatrizen und Adjazenzmatrizen der Teilgraphen zur Farbe i. Dann werden69