Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-Verfahrenmit( ) ( )A B0 0A 1 = , AB A 2 =B C( ) C B, A 3 = . . . = A n2 −1 = 0 , A n = .2 0 0Für die Matrizen A (j) , j = 0, . . . , n 2− 1 aus Lemma 3.19 erhält man damit( (A (j) = A 1 + ω j A 2 + ω −j A + C cA n = (j) − is (j)) B ( 1 + c (j) − is (j)) )2 B ( 1 + c (j) + is (j)) A + C ( c (j) + is (j))mit c (j) = cos 4πjnund s(j) = sin 4πjn. Das charakteristische Polynom dieser Matrix lautet(χ (j) (t) = t 2 − 2 (1 − α) 2 + 2α 2 c (j)) t + (1 − 2α) 2 .Dessen Nullstellen und damit die Eigenwerte von M DE sind:√t (j)1,2 = (1 − α)2 + α 2 c (j) ± α α 2 − 4α + 2 + 2 (α − 1) 2 c (j) + α ( 2 c (j)) 2 ,j = 0, . . . ,n2 − 1(3.1)Die Anzahl verschiedener Nullstellen m hängt also ab von den c (j) und von α. Es wirdim Folgenden nicht berücksichtigt, dass für bestimmte Werte von α zufällig Eigenwertezusammenfallen können. Zunächst sei α ≠ 1 2 .1. Fall: n ist durch 4 teilbar: Dann giltc (j) = cos 4πjn= cos 4π ( n2 − j) = c ( n 2 −j)nfür j = 1, . . . , n 4 −1. Zu c( n 4 ) = −1 gibt es einen doppelten Eigenwert t ( n 4 )1,2 = 1−2α.Da es für jedes c (j) , j = 1, . . . , n 4− 1 zwei Nullstellen in (3.1) gibt, erhält maninsgesamt m = n − 2 ( n4 − 1) − 1 = n 2 + 1.2. Fall: n nicht durch 4 teilbar: In diesem Fall ist c (j) = c ( n 2 −j) für j = 1, . . . , n−24unddamit m = n − 2 ( )n−24 =n2 + 1.Im Falle α = 1 2wird aus Gleichung (3.1):t (j)1 = 1 2 + 1 2 c(j) , t (j)2 = 0Hier fällt auf, dass die Diffusionsmatrix M Diff für einen Zyklus der Länge n 2 mit α = 1 4genau dieselben Eigenwerte hat, ggf. ohne die 0. Man kann sogar nachrechnen, dassM Diff = ( L T 1 M )2L 1 ⊗ (1 00 0 ) gilt, wobei M 1 = L 1 L T 1 die Cholesky-Zerlegung von M 1 ist.Die Anzahl m der Eigenwerte halbiert sich für α = 1 2also ungefähr gegenüber dem Fallα ≠ 1 2 . Für 4 | n ist zu berücksichtigen, dass 0 für α ≠ 1 2auch schon ein Eigenwert war, für4 ∤ n kommt 0 als zusätzlicher Eigenwert hinzu. Damit ist m = 1 ·( n2 2 + 1 − 1) +1 = n 4 +1für durch 4 teilbares n und m = 1 ( n2 2 + 1) + 1 = n 4 + 3 2im andern Fall.54