Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-Verfahrenbekannt sein. Da diese numerisch jedoch kaum zu berechnen ist, ist dieser Abschnitt ehervon theoretischem Wert.Sei nun X ∈ R n×n die Matrix, die M DE auf Jordan-Gestalt transformiert, d. h.⎛J r1 (µ 1 )X −1 M DE X = ⎝⎛⎞⎞µ k 1. .. ... . ..⎠ mit J rk (µ k ) = ⎜⎝. ⎟ .. 1 ⎠ ∈ Cr k×r kJ rl (µ l )µ kmit µ 1 = 1 und r 1 = 1. Analog zu den Eigenvektoren im diagonalisierbaren Fall existierennun verallgemeinerte Eigenvektoren z i,j mit ( M DE − µ DEi I ) j zi,j = 0 für i = 1, . . . , lund j = 1, . . . , r i . Diese stehen senkrecht auf der Gleichverteilung, wie folgende Verallgemeinerungvon Lemma 3.13 zeigt:Lemma 3.17. Es sei z 1,1 = e = (1, . . . , 1) T und z ein weiterer verallgemeinerter Eigenvektorvon M DE zum Eigenwert µ ≠ 1. Dann stehen z 1 und z senkrecht aufeinander.Beweis. Da M DE doppelt stochastisch ist, gilt wieder M DEH z 1,1 = z 1,1 .[]z H z 1,1 = z H 1() j(1 − µ) j M DEH − µI z1,1=[= 0]1(Hj(1 − µ) j M DE − µI)z z 1,1Es sei nun wie üblich m die Anzahl verschiedener Eigenwerte. Zu jedem Eigenwert µ DEk ,k = 1, . . . , m bezeichne s k die Dimension des größten Jordanblock zu µ DEk. Der DE-OPT-Algorithmus muss nun so verändert werden, dass jeder Eigenwert µ DEkbzw. λ DEkmehrfachentsprechend seiner maximalen Vielfachheit s k in einem Jordanblock angewandt wird,vergleiche Algorithmus 3.8.for k = 1, . . . , m − 1 dow k,0 = w k−1for j = 1, . . . , s kw k,j =end forw k = w k,s kend for( do )I − 1 L DE w k,j−1λ DEk+1Algorithmus 3.8: DE-OPT-Verfahren für den nicht-diagonalisierbaren Fall50