Loadbalancing auf Parallelrechnern mit Hilfe endlicher Dimension ...

3 Dimension-Exchange-VerfahrenNach Voraussetzung sind die x i minimal, was insbesondere bei Diffusionsverfahren immererfüllt ist. Da Diffusionsverfahren sogar für jede Ausgangsverteilung minimale Flüsseerzeugen und darüber hinaus minimalen Flüsse eindeutig bestimmt sind, ist auch xminimal.Jetzt werden wie angekündigt einige der Resultate aus Tabelle 3.3 theoretisch nachgerechnet.Bei Zyklen gerader Länge erhält man die Flussabschätzung durch pures Nachrechnender entsprechenden Formeln.Satz 3.39. Bei Zyklen C n gerader Länge n ist der von DE-XXX und SDE-XXX mit α = 1 2berechnete Fluss in der l 2 -Norm höchstens um den Faktor √ 2 höher als der minimaleFluss.Beweis. Nach Satz 3.36 ist zum Beweis die Norm von X (S)DE = A (S)DET L (S)DE+ A nachzurechnen.Diese Berechnung ist nicht allzu schwierig, dafür etwas langwierig. Aus diesemGrund werden nur die wichtigsten Zwischenergebnisse angegeben. Dabei wird intensivdie in Definition 3.18 eingeführte Notation für blockzirkulante Matrizen verwendet, diehier auf nicht-quadratische Blöcke ausgedehnt wird.A 1 =A 2 =(Φ(( 1−1), 0, . . . , 0))0( (( ( )))0 −10 Φ , 0, . . . , 0,1)0A = A 1 + A 2M 1 = Φ(( 12M 2 = Φ121212(( 120012) ), 0, . . . , 0),( ) 0 0, 0, . . . , 0,120A DE = A 1 + M 1 A 2( (( )1= Φ , 0, . . . , 0−1)( )) 0120 0(( 1( )))Φ 2 −11 , 0, . . . , 0, 22)− 1 2A SDE = A 1 + M 1 A 2 + M 1 M 2 A 2 + M 1 M 2 M 2 A 1( (( ( 1 1( ))= Φ , 4 −1−1)1 , 0, . . . , 0, 44)− 1 Φ4(( 3L DE = Φ 2− 1 ) ( )2 0 0− 1 3 ,2 2− 1 2− 1 , 0, . . . , 0,2( ( )3L SDE = Φ Φ2 2), −1 , Φ, 0, . . . , 0, Φ(− 1 4 , −1 4(( 12 12), 0, . . . , 0,( −12− 1 20 0))(− 1 4 , −1 4))( ))) −12− 1 2Für die benötigten Pseudoinversen P (S)DE = L (S)DE+ findet man folgende Formeln:P (S)DE = 1 ()n Φ P (S)DE1 , . . . , P (S)DE n276